nr; ar. Rép. ae 13 MIE SORTE Rte À ds ! B

14: T°? + 4y? — 20: — dx — — 4, = À. | ds LA dt dt 15. y— «x; FRA z—— 8.

dt ARS: dy pe | dt

17. Le côté d’un triangle équilatéral a 24 centimètres de long et croit à raison de 3 centimètres par heure. A quelle vitesse la surface croit-elle ?

Rép. 363 centimètres carrés par heure.

48. Comment varie r aire d’un carré quand le côté b croit à raison de a unités par seconde ?

Rép. 2ab unités carrées par seconde.

19. (a) On demande combien le volume d’une bulle de savon sphérique croit de fois plus vite ue son rayon. (b) Quand son rayon est de 4 centimètres et” croit à raison de ; centimètre par seconde, à quelle vitesse croit le volume ?

Rép. (a) 4xr° fois plus vite; (b) 327 centimètres cubes par seconde.

À quelle vitesse croît la surface dans le dernier cas ?

20. L’extrémité d’une échelle longue de 50" est appuyée-contre un mur vertical qui repose sur une surface horizontale. En supposant que l’on écarte le pied de l’échelle du mur à raison de 3" par minute:

(a) À quelle vitesse le sommet de l'échelle descend-il quand le pied est à 14m du mur?

(b) À quel moment le sommet et le pied de l’échelle se déplacent-ils à la même. 1 vitesse ?

Rép. (a) + de mètre par minute.

(b) Quand Ia distance du pied de l'échelle au mur est de 25/2 mètres. (c) Quand la distance du pied de l'échelle au mur est de 40",

21. Une barque dont le pont est à 3,60 au-dessous du niveau des bords d’un bassin est halée au moyen d’un câble attaché à un anneau fixé au plancher du bassin. Le câble est enroulé sur un treuil fixé sur le pont de la barque, à la vitesse de 2,40 par minute. A quelle vitesse la barque se déplace-t-elle vers le bords du bassin quand elle en-esb à 4,80? - Rép. 8" par minute.

22. Un wagon de chemin de fer est à 12 immédiatement au-dessus d’un autre . M wagon de chemin de fer, leurs voies se coupant à angles droits. Si la vitesse du « wagon le plus élevé est de 254,35 par heure et celle de l’autre wagon de12:m,68 par heure, à quelle vitesse les wagons se séparent-ils au bout de la cinquième 1 minute qui suit leur rencontre ? Rép. 284,35 par heure.

23. Un bateau se dirige vers le Sud à la vitesse de 62 à d'heure et un autre

vers l'Est à la vitesse de 8m à l'heure. A 4 heures de l’après-midi, le second bateau traverse la route suivie par le premier, à l'endroit où ce premier bateau se trouvait deux heures auparavant.

(a) Comment ladistance entre Les bateaux variait-elle à 3 heures de l'après-midi ? (b) Comment à 3 heures de l'après-midi ?

(b) En augmentant de 8km,73 à l'heure.

(ce) 3: 17 heure de l'après-midi.

24. En supposant que le volume du bois d’un arbre soit proportionnel au cube de son diamètre et que ce dernier croisse uniformément d'année en année, montrer que l'accroissement quand le diamètre atteint 90°, est 36 fois plus grand que quand le diamètre est de 15cm,

25. Un train de chemin de fer marche à 19:m 900 à l’heure en passant une station de 800" de longueur. Les rails ont la forme de la parabole y — 600% et le train suit la direction indiquée par la figure. Le soleil étant supposé se lever à l'Est, juste au moment où le train passe devant la station, trouver à quelle vitesse l’ombre S de la locomotive L se déplace le long du mur de la station à l'instant où cette locomotive atteint l’extrémité du mur.

Solution. y? = 600%.

9y dy © — 600 7 dt dt” ou de y, dy,

dt 300 dt

“En substituant cette valeur de = dans

ds At nie

En Les + Dr: dt VE a nous obtenons

k CO à" él =(5 dt. ar Bo. 0r FRS Ê= 19km,900 par heure — 99 mètres par seconde.

HS — 400 et 7 — ?

D: ‘dt » En substituant dans (D) nous obtenons 16 dy\?

29 Aa fre FETE (D +1) (à)

du — 43: mètres par seconde. Rép.

166 CALGUL DIFFÉRENTIEL |

26. Un train express et un ballon partent du mème point au même instant. Le premier marche à 50" à l’heure et le second s'élève à la vitesse de 10: à l'heure. A quelle vitesse se séparent-ils ? Rép. 5 à l'heure

27. Un homme haut de 1,80 s'éloigne d’un lampadaire de 3" de hauteur à la | vitesse de 6k®,340 à l’heure. A quelle vitesse l'ombre de sa tête se déplace-t-elle ? Rép. 15,840 à l'heure.

28. Les rayons du soleil font un angle de 30° avec l'horizon. Un ballon est lancé verticalement à une hauteur de 19°,20. À quelle vitesse l’ombre du ballon se déplace-t-elle sur le sol, juste au moment où le ballon touche terre?

‘Rép. 33,24 par seconde. |

29. Un bateau mouille l’ancre dans 5",40 d’eau. Le câble passe sur un de poulie fixé à l'avant du bateau à une hauteur de 1",80 au-dessus de la surface de l’eau. Si on enroule le câble à raison de 30% par seconde, à quelle vitesse le : bateau se déplacera-t-il quand il restera 9 mètres de câble à enrouler?

- Rép. 0,50 par seconde.

30. Un homme hisse une caisse jusqu'à une fenêtre haute de 157 au moyen d’une poulie. S'il tire la corde à raison de 3" par minute en s’écartant de lédifice à raison de 1,50 par minute, à quelle vitesse la caisse montera-t- elle à à la fin de la deuxième minute ? Rép. 3,99 par minute.

31. De l’eau coule d’un fossé dans un bassin hémisphérique de 35°" de diamètre à raison de 3cm3 par seconde. A quelle vitesse l’eau-s’élève-t- elle : <e

(a) Quand le niveau de l’eau est à mi-chemin du sommet? Juste se moment où elle déborde? (Le-volume d’un segment sphérique =; rh + ;irh, où h — la hauteur du segment.)

32. Du sable versé sur le sol par l’orifice d’un tuyau élevé forme une pile qui. a constamment la formé d’un cône circulaire dont la hauteur est égale au rayon

de la base. Si le sable tombe à raison de 2 mètres cubes par seconde, à quelle vitesse la hauteur de la pile croît-elle au moment où la hauteur est de 4,50 ?

33. Un aéroplane est à 176% directement au-dessus d’une automobile et part vers l’Est à la vitesse de 40" par heure; au même instant l’automobile part vers … Est à la vitesse de 80: par heure. À quelle vitesse se séparent-ils? |

34. Un phare envoyant un faisceau de rayons parallèles est à une distance de 0im,792 de la côte et fait un tour en une minute. Trouver à quelle vitesse la lumière parcourt une côte en ligne droite quand elle est à une distance de 4xm,584 du point le plus rapproché du rivage. Rép. 24m 87 par minute.

35. Un cerf-volant ayant 67" de ficelle déroulés, est à 50° de hauteur. En supposant que le cerf-volant se déplace horizontalement à à raison de 44 à l'heure, on demande à quelle vitesse la ficelle filait au départ. |

36. Une solution est versée dans un filtre conique dont le rayon de base : a Gen 4 et la hauteur 24, à raison de 2% par seconde et filtre à raison de 1°" par seconde. A quelle vitesse le niveau de:la solution s’élève-t-1l quand :

(a) il est à un tiers de la hauteur ? ?

(b) il est au sommet ?

. Rép. {À 0,079 par seconde ; (b) 0,009" par seconde.

. 37. Un cheval court à la vitesse de 20m à l’heure sur une piste circulaire au centre de laquelle est un arc électrique. À quelle vitesse son ombre se déplacet-elle le long d’une palissade en ligne droite (tangente à la piste au point de | déparD quand il a accompli un huitième du circuit ?

+ Rép. 40 kilomètres par heure.

38. Les arêtes d’un cube mesurent 24: et croissent à raison de 0cn,02 par - minute. (a) Comment le volume croit-il? (b) Comment la surface croît-elle ?

39. Les arêtes d’un tétraèdre régulier mesurent 10°" et croissent à raison de 0,3 par heure. A quelle vitesse : (a) le volume croit-il? (b) la surface croit- 4 elle ?

40.-Une lumière électrique est Su à 142 mètres d'ün mur.en pierre.

Un homme marche à raison de 3",60 par seconde sur un chemin en ligne droite

à 3 mètres de la lumière et perpendiculaire au mur. À quelle vitesse l'ombre pue l'homme se déplace-t-elle quand il est à 9 mètres du mur ?

Rép. 14,40 par seconde.

Al. Un HUE est constitué par une porte dont les deux bras tournent autour du même axe, ainsi que le montre la fi figure 82.

Le bras qui est au-dessus du passage des voitures a 4 mètres de long et.celui qui est au-dessus du che- Fig. 82. min des piétons en a 3. Les deux bras tournent à la vitesse de 3 radians par minute. À quelle vitesse la distance entre les extré- Le US des bras varie-t-elle quand ils font un angle de 45° avec l'horizontale? | Rép. 249 par minute.

42. Un Ain conique de 8x de rayon et de même profondeur est rémpli - d’une solution qui filtre à raison de 2% par minute. A quelle vitesse la surface descend-elle quand elle est à 2 du sommet de l’entonnoir ?

43. Un angle croit à une vitesse constante. Montrer que la tangente et le sinus croissent à la même vitesse quand l'angle est nul, et que la tangente croît . 8 fois plus vite que le sinus quand l’angle est de 60°.