Échange des variables dépendante et indépendante

Il est quelquefois avantageux de transformer une expression renfermant des dérivées de y par rapport à æ'en une expression équivalente «

renfermant des dérivées de æ par rapport à y. Nos exemples montre- … ront qu’en beaucoup de cas un tel changement transforme lexpres- …

sion donnée en une expression plus simple. Ou bien + est donnée comme fonction explicite de y dans un problème et l’on trouve plus «

commode d'utiliser une formule contenant <=, PL etc. qu’une Con- | y

Nous allons établir les formules nécessaires pour opérer ces trans- «

formations. : - | Étant donné y — f(x), nous avons alors d’après XX VE, p. 40, so Es da | | -(35) PES ax” Gi dy expression qui donne 4%. en fonction de 22! Nous avons aussi, d’après IX de NY | | * d° or d dy d au EST ds di\dx dy\ dx) dx D ou : Fe 23 le JTE AY He A CHERE NE ne 7 (A) dx? dy\ dx |dx te :

dy :

Se TROT - M \ KE. DEAN Pr A En .

als dy dx Eee) ?

dy \dy,

CRT AS à, PTE ee

. CHANGEMENT DE VARIABLE 169 D dy 4

= —— l'après (35).

SITES DA d'après (35) dy 1 substituant ee (A), nous obtenons | | qe | dyL du (36 ra L ER dx” ‘dx\° (ay) expression qui donne en fonction 1 : et de e Me J - De même, D. dus (es) #4} 3 3 2 “<HATEY) EU à ENT NCA

et ainsi de suite pour les dérivées d’ordre supérieur. Gette transtor- mation s'appelle changer la variable indépendante x en y.

ExemPLe. Changer la variable indépendante x en y dans l’équation 3(Ly\? dy dy dyfdy\ , dx? dx dx dr? \dz xs Solution. En substituant d’après (35), (36), (37), il vient

dy?

E : 1 PA et NE 1 dy? dy MEN RO Me re GORBISSE) CHE Be Ni dy) ay .. \dy dy} / \dy/.

*$" En réduisant, nous obtenons { dre dr dy dy? :

4 équation beaucoup plus simple que celle qui est donnée.

96. Changement de la variable dépendante. — Soit 2) | HE) =f(@) et supposons en même temps que y soit une fonction de £, c'est-à- -dire

RO) y =)

| À N ous pouvons alors exprimer cu. C4, ete., en fonction de . ne

elc., comme il suit. En général, z est une fonction de y, d’ après CB); p. 50, et puisque y est une fonction de æ en vertu de (A), il est évident que z est une fonction de æ. Par suite, d’après XXV, nous avons dy ;dy 7 RUE € 62 É DANS MER LE MER CNE En F2 VORE CG) dx :d2: :dx @)

Nous avons aussi.

dy, a (: LANTA FN TUE NO Re ?(£ DT) = ne VMTie Ts d'après Ÿ.

dx* dx’ Mas, Q | ; d d 1E AE SAR ENT te 4 RES o! LD RE d g sr f Z)— ; Il XXV, NS dx: (&) 2 dre 7 ( ) Tr RE SAT Res ji | (D) a a ea |

De même pour les dérivées d’ordre supérieur. Cette transformation s'appelle changer la variable dépendante y en =, æ restant là variable:

indépendante.

Nous allons maintenant éclairer ce procédé au moyen d’un

exemple.

Exempce. — Etant donné l'équation

à ® dx? Le I re YÉLAT

changer la variable dépendante y en z au moyen de la relation (F) y =igz

Solution. se tenant compte de (EF),

LE RENE EU à D dim de d2z de dz \?

Ho mn dx? sec? z Le Re RE de .

Ea substituant dans (E), il vient

d?z dz sec2z LT + 9 çec?zt = | RATE ca de

et, en réduisant, nous obtenons

“ee (4 — Cos? z. Réponse.

de? Ave ESA

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