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LARGES ER EONPRES : * # pa” ny Mc ER er Di
180 jé * GALCUL DIFFÉRENTIEL ne Mais, 5% de .
de d- vs re 19 ds ds. | do ‘ Par suite, 3 5 s ” , d d À 4 PP Une ‘1 (41) Res ui nt 130 7? l 4 ser CUP VAT 2) P+(T HA [+ (a) ] 1 2 4 Exewpse L — Trouver Ja courbure de la parabole 7? — 4px au point (p, 2p). 4 | Solution. y. 2p, dy p, dy lp 4 EASY ELdEE YA LU ; En substituant dans (40), il vient | | LS À RENE RAR CHE)
ce qui donne la courbure en un point quelconque. HE (p, 2p),
20? ae 4p°?
K = — "#1 — .:C) Réponse. … | s | re 1692p5 4 2p 4 Exewpce Il. — Trouver la courbure de LE spirale logarithmique p= es en un point quelconque. are :
* ! de do Solution. 20 — (6 rer ae a?p,
En substituant dans (A),ona hs | | CR K=— HE A Réponse.
En posant les rails d’un chemin de fer, on ne peut pasrà cause ‘ad la grande vitesse des trains, passer brusquement d’une partie droite … à une partie courbe. Pour OpérEr graduellement le changement de
En
(*) Quoique dans cet ouvrage, ce-soit généralement là valeur rai de K qui-ait seulement de l'importance, nous pouvons cependant donner une signification géométrique à son signe.
D'un bout à l’autre de l'ouvrage, nous avons pris le signe positif devant le radical 1+ a 1 & n Par suite, K sera positif ou négatif en même temps que SE , c’est-à- Re (& 85, p. 122) SOvao ques
la courbe est concave Vers le Fo ou concaye vers le bas.
ee a RAYON DE COURBURE 181
| direction, les i ingénieurs font usage de courbes de transition pour . raccorder la partie droite de la voie avec la partie courbe. Les arcs | de parabole cubique sont généralement employés comme courbes de transition.
Exewze Il. — La courbe de transition d’une voie ferrée a la forme d’un arc 4 de parabole cubique y — ;æ?. À quelle vitesse une voiture change-t-elle de direction ‘sur cette voie (le Hilornéfte = l'unité de longueur) quand elle passe :
4 (a) par le point (3, 9) ; (b) par le point (9, ©); (c) par le point (1,1)?
D Solution. DR Te ET og 1 dx dx?
Re En substituant dans (40), il vient
| J'Obter Ris Le (1 + 2 +: Un Au point (3, 9), a ICE - radians par kilomètre — 98’ par kilomètre. Réponse. à - (Rp?
(b) Au point (2, ÿ), | :
.. K——— radians par kilomètre — 3° 16/ par kilomètre. Réponse. “RTE am © Au point ce à) Ë h. TR es SHENTS 2 À rdian par kilomètre — 40° 30/ par kilomètre. Réponse. | 4e à @.
e. 408. Rayon de courbure. — Par analogie avec ce qui à été dit
pour le cercle [voir (38) p. 177], le rayon de courbure d'une courbe en un point est défini comme étant l'inverse de la courbure de la re en ce point. En désignant le rayon de courbure par R, nous avons 9% ; 1 AP non fe Ka - \ . K 7
x ou, en à substituant les valeurs de K d’après (40) et (41),
D ©) Do Let
# : re dx’
É © Par suite, le rayon de courbure aura le même signe que la Dur c'est-à-dire + ou — suivant pers 1 courbe est concave vers le haut ou concave vers le bas.
182 CALGUL DIFFÉRENTIEL F. e L = ; À . d 2: 2 * | [+ (a) ] | * (43) R ï d’p : dp 2 ; ( ) ex De No 6 LEAVE 9 Le : Exewpze L. — Trouver le rayon de COUrDUrE A en un point quelconque de um : chaînette . 4 \ea + . + ETS IN ÉRtereA fRe PSR VE SC Solulion. D — © te 45 2 — —\et e-a}, \ Ë dr 09 dx? A SE ) | :
re En substituant dans (42), il vient | REC: __&æ\? - RAS Pie | ete 4 ei+e 1 : œ \2 { Hess) | tn Je ae gs 2 as 2 Laden See 2 ee des Ge : ) Haye, Réponse. CR PRES RS ER SERRE a | Cet CE SE Sr a é DRE Ke 24 re Si l'équation de la courbe est donnée sous forme paramétrique, & on cherche la dérivée première et la dérivée seconde de y par appels À à æ, d'après (A) et (B); p. 1Tsivoir es DER #5 | dy | dx dy dy dE pa SL 2 . = 2 L 0 dy = dé. a a É dé dt LEA à de: dd a= LES Ere dt rare ICS) | et l’on substitue ensuite les résultats dans (42). C9? ExEwPLe IL — Trouver le rayon de courbure de la cycloïde æ = a(t — sin b), y—=a(l— cos f).- «Solution: : - Pa — a(i — cos f), ee a ut t à dt * it ax | dy SENS —— —4SIN f Yo cost. Fe | dt? de : - > (2. Au S 98, p. 172 (43) est dérivé de Ga) en Sn Late Re aux coordonné polaires. | s (*) La SubsGittion de (G) et de (H) dans (42) donne R=- TO GT k). pe $ | Re Ia d'y dy dr A dt dE dt de je ee de + ‘ & Fete 2% Er" Ne TR
2 | ve RAYON DE COURBURE | 183
En substituant dans (G) et (HD), et ensuite dans (42), p. 181, nous obtenons
dy __sinf. dy a({—costhacost—asintasint LATE dx 1— cost dx? a — cos t} a@—cos t}.
D 4 RE be — ee Le =:07 CADET 9 cost COS f: Réponse. 4 ad —cos t}?
