CHAPITRE XIII THÉORÈME DE LA MOYENNE. FORMES INDÉTERMINÉES

105. Théorème de Rolle. —— Soit : y = f(x) une fonction continue de æ à valeur unique (fonction uniforme), s’'annulant pour + — 4 et pour æ— 0, et supposons que f(x) varie d’une facon continue quand æ varie de a à 4. La fonction est alors représentée graphiquement par une courbe continue comme dans la figure 87. L'intuition géométrique nous montre immédiatement que pour wne valeur de x, au È moins, comprise entre «el

D 9, la tangente est parallèle à l’axe des + (comme en P), c'est-à-dire que la pente est nulle. Ces considérations éclairent le théorème de Rolle : é

ny fx) rate quand x = a@ etx = b, et que “a ) et f'(æ) soient continues pour toutes les valeurs de x, de x — a jusqu'à x = b, f(x) . S’annulera pour au moins une valeur de x comprise entre a et b.

3 . « Cé théorème est évident, parce que quand + croit de à& à 4, /(r) L ne peut pas constamment croitre ou constamment décroitre quand + D croit, puisque f(a)=0 et /(b)— 0. Par suite, pour une valeur de +, E. au moins, comprise entre a et 4, /(æ) doit cesser de croître pour commencer à décroître, ou bien cesser de décroitre pour commencer f LS à croître, et pour cette valeur particulière de æ, la dérivée première doit être nulle (& 81, p. 124). |

L On montre comme il suit que le théorème de Rolle ne s ‘applique E. pas quand /(æ). ou f’(æ) sont discontinues :

La figure 88 représente le graphique d'une fonction qui est discontinue 2 pour æ— €, valeur comprise entre a et 4.

La figure 89 représente une fonction continue dont la dérivée première est discontinue (æ) pour une valeur intermédiaire æ = ce.

Dans les deux cas, on voit qu’en aucun point du graphique situé entre æ—=aetæ—b, la tangente (ou la courbe) n’est parallèle à OX.