Théorème de la moyenne (*). — Considérons la quantité

Q définie par l'équation ' (A) (@)—1G) = 9 | b— a 7 ou (B) f(b) — f(a)—(b — a)Q — 0.

Soit ft) une fonction formée en remplaçant à par æ dans le membre gauche de B, c’est-à-dire

(C) F@)= f@)— fa) —(@ — 00.

D’ ne (B), F(6)= 0 et d'après (C), F(a) = 0 ; par conséquent, en vertu du théorème de Rolle Cp. 187), F'(æ) doit s’annuler pour au moins une valeur de æ comprise entre a et b, soit æ,. Mais en différentiant (G), nous obtenons

F(x)= f(x) —0Q Par conséquent, puisque F'(x,)— 0, on a aussi fa) —Q=— | el = Le Q = f(x).

En substituant cette valeur de Q dans (A), nous obtenons le théo-

rème de la moyenne

(44) PK) IC ah) En Pi < b,

dd

{”) Appelé aussi loi de la moyenne.