ARE D
EB = (6) — f{a).
Par conséquent, la pente de la corde AB est
Ho EB {)— f{a) (By ty EAB= = SE
et
[y à au moins un point de la courbe entre A et B (tel que P) où - la tangente (ou la courbe) est parallèle à la corde AB. Si l’abscisse de D P est æ:, la pente en P est |
te 4— f(x) = te EAB.
E: En égalant (D) et (E), nous obtenons
or Ro CE
qui est le théorème de la moyenne, - Le lecteur devra tracer des courbes (telles que celle de la p. 187, à fig. 87) pour montrer qu'il peut y avoir plus d’un point tel que P É dans l'intervalle considéré, et pour montrer, d'autre part, que le théoà
rème peut ne pas être vrai si /(æ) devient dscdMinue pour une valeur quelconque de + comprise entre à et 4 (fig. 88, p. 188), ou si f(x) devient discontinue (fig. 89. p. 188).
- En chassant le dénominateur de (44), nous pouvons également écrire le théorème de la moyenne sous la forme
Soit à = a+ Aa; alors b— a — Aa, et puisque à, est un nombre se trouvant compris entre à et #, nous pouvons écrire
{ Li 0 HN NT: 4 2 F
où 6 est une fraction positive proprement dite. En substituant dans (45), nous obtenons une autre forme du théorème de la moyenne:
(46) f(a+ Aa)— f(a)— Aaf(a + 8: Aa), 0<8< À:
107. Développement du théorème de la moyenne (= Eus suivant la méthode du dernier par agraphe, soit R défini dt l'équation
&) fO-K0—-C-Y@- LG R—0
Soit F(x) une fonction formée en remplaçant b Fe æ dans le. membre gauche de (A), c’est-à-dire
(B) Fx)= fx) Ka)— (x —a)f 1 aÿR.
D’après (A), F(6) — — 0 et, d’après (B), F(a) — 0, Par conséquent, en vertu du théorème de Rolle (p. 187), au moins
une valeur de æ comprise entre a et 4, soit æ;, annule F'(x). Par
suite, puisque | Fr) = (2) — fa) — (Ge — 0, nous obtenons
HE @)— fa) Ca — a)R = 0.
Puisque F'(x,) = 0 et Fa) — = DAteest évident que F’ (x) satisfait également aux conditions du théorème de Rolle, de sorte que sa dérivée, c'est-à-dire F’(x), doit s’'annuler pour au moins une valeur de. TL comprise entre & etx, soit æ;, et par conséquent æ, Se trouve également comprise entre a et 4. Mais,
RRÉREE TT GT R ; donc F'(x:) =f"(x>) — R— A} + | nd
En substituant ce résultat dans (A). nous obtenons ie (©) JO) /G)EC- af G)+S-G— a) fe). a<a<UN
(*) Appelé aussi développement de la loi de la moyenne. | È
ETAPE THÉORÈME DE LA MOYENNE ses
é De la même manière, si nous définissons S au moyen de l'égtation
1 9 LI (l 3 5; b—O-6-N 0 Gray s=0, à E L'Æ LE, - «nous L'pous en faire dériver l équation:
É 0 RER EF +69" 4 De, of), acmc,
En laquelle +, est compris entre & et 4. En continuant cette mé- thode, nous obtenons le résultat général,
? on b=ro+ = o+ Tr 12 ; +4 2 fa) Fe a ANG)
- dans lequel x; se trouve entre a et 4. La relation (E) s'appelle le déve- doppement du théorème dé la moyenne.
408. Maxima et minima traités analytiquement. — En ulili- % Font les résultats des deux derniers paragraplies, nous pouvons * maintenant donner une discussion générale des maxima el minima des fonctions d'une seule variable ne Etant donnée la fonction /(æ), soit 2 un nombre positifaussi petit qu on voudra ; les définitions données au $ 82, p. 122, peuvent alors
3 | de énoncées comme 1] suit :
Gi. pour toutes les valeurs de æ différant de & dans l'intervalle Mu a+ À], | | k : | A) f(x) — fKa) = un AA né à on dit que ft) passe par un MAAarImUm pour ER On Te d'autre part,
+: By” - f(x) — f{a) = un nombre positif,
4 ne f(x) passe par-un minimum pour x = «.
Considérons les cas suivants:
I. Soit f'(a)=Z0. D'après (45), p. 189, en remplaçant b par æ et en transposant /{(a), 1l vient
(E) fa)—fo=(@—a)ÿf(a) a<æ <a.
Puisque f(a)=£ 0 et que f(x) est supposée continue, 2 peut être
choisi assez petit pour que f(æ) ait le même signe que f’(a) pour
toutes les valeurs de æ de l’intervalle [a — k, a + A]. Par conséquent fu) a le même signe que f”(a) (chapitre in). Mais, æ — a change de signe suivant que æ est inférieur ou supérieur à à. Done, d'après
(C), différence GC) — fa)
pe A 2 x ; À . F changera également de signé et d’après (A) et(B), /(a) ne sera n1 un maximum ni un minimum. Ce résultat concorde avec la discussion du S 82, où il a été montré que pour toutes les valeurs de x pour les-. quelles f(x) passe par un maximum ou Pate: minimum, la dérivée
première f(x) doit s'annuler. à
Il. Soc PAM UP RE UD)EAE D’après (C), p. 190, en remplaçant b par æ et en transposant f(a), il vient
(D) fo Ro = Cd pe). AL < à.
Puisque /”(a) 0 et que f(x) est supposée continue, nouspouvons choisir l'intervalle [a — X, a + A] assez petit pour que /”(a) ait le même signe que /’(a) (chap. 11); (x — a) ne change pas non plus
de signe. Par conséquent, le second membre de (D) ne change pas de signe et la différence fx) fo)
a le même signe pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle [a —, a+ h], et, de plus, ce signe est le même que celui de f(a). En conséquence, 1! résulte de nos définitions (A) et (B) que:
(E) /(a) est an Baie sû f(a)—=0 et f'(a)—=un nombre.
négatif ;
() (a) est un minimum st f(a)=0 et f (a) = un nombre
positif.
Ces conditions sont les mêmes que celles énoncées sous les numéros
(21) et (22), p. 127.
