NT PE +12 L

HUE, A nBPE= sin." - DCR CoSx.

ÿ Par: suile, ;

0) #3 LL a=x—Rsin:, &—y+R cos.

D’après (29), p. 153 et (42), p. 18f, Pere

à CR

de 1 OUR

dx CAO il RE dx :: 0 SIN 7 — -—-— Pr Cr ee RE 2 à 1+(4 al [1+ dy dr? |

dx dx A 4

En substituant ces valeurs dans (A), nous obtenons Ë.

se) + à

50 ST Le dx } :|. RÉSEAU À dx° dx” i

D’après (23), p. 142, nous savons qu’en un point d’inflexion (tel |

que Q dans la figure 96)7 E = 0. | 4

Par conséquent, de (40), p. 178, la courbure K—0 ; et d’après (42), p. 181, et(50), p. 208, nous voyons qu'en sénéral, x, 8, R croissent sans limite quand la dérivée seconde tend vers zéro, c’est-à-dire que si nous supposons que P, avec sa tangente, se déplace sur la courbe dans la direction de P', au point d’inflexion Q, la courbure est nulle, la rota-

üon de la tangente est momentanément arrè- 4

tée, et comme la direction de rotation change,

le centre de courbure est rejeté à infini et le

Fig 96. rayon de courbure devient infini. ch 3 ExEmPce. — Trouver les coordonnées du centre de

Die de la parabole y? — 4px correspondant :

(a) à un point quelconque de la courbe ; (b) au sommet,

dy p" dy. AP dx y dt? y5.

(a) Substituons dans (E), p. 207,

Ds at LS RTE

Solution.

sl = 37 ?

NT Mer 2pi +

BH RApONN ser aDe 4p°?

Par conséquent (8er — D est le centre de Fig. 97. 4p

courbure correspondant à un point quelconque de la courbe.

Ar 42 GERGLE ET CENTRE DE COURBURE 209

118. Le centre de courbure, position limite de l’intersec- À tion de normales en des points infiniment voisins. — Soit.

(A) y= fr)

l'équation d’une courbe.

Les équations des normales à la courbe en deux points voisins P, et P; sont 6)

= NE Ge Vo be

(a, =D + Gi) 0

CaB)

$ les normales se coupent en C’ (2, 8"), les coordonnées de ce point à ont satisfaire aux deux équations, ce qui donne

AT LOU LT ATE | 2e

2 OCDE CEE

Considérons maintenant la fonction de x définie par

LÀ ED. vi

| Mais alors, en vertu du théorème de nue E 187), 2'(æ) doit S is

Lé

OR EAU (tr) =S0; ee PT? tendra, € comme phstis limite, vers le centre de cour-

c. À LE CALCUL DIFFÉRENTIEL

bure C (x, 3) correspondant à P, sur la courbe ; car si nous laissons

- de côté les accents et que nous écrivions les Fi PAT équations

sous la forme Lt

21 y dy SU

2) EYE. DA )+u— pe

il est évident que la résolution de ces équations par rapport à & et &!

donnera les mêmes RL que la résolution de 4B) et (U). P. 206, par rapport à x . Par suite,

Théorème. — Le centre de courbure G correspondant à un point P d'une courbe est la position limite de l'intersection de la normale à la courbe en P avec une normale infiniment voisine. |

119. Développées. — Le lieu des centres de courbure d’une courbe donnée est appelé la développée de cette courbe. PES Considérons le cercle de courbure correspondant à un point P d’une courbe (fig. 99). Si P se déplace sur.

la courbe donnée, nous pouvons supposer que le cercle de courbure correspondant roule sur la courbe en même temps que P se déplace, le rayon de ce cercle variant de façon à être constamment égal … au rayon de courbure de la courbe au point P. La courbe CCG; décrite par le cen- ' tre du cercle est la développée de PP;.

Il est intéressant de Fe une construction approchée de la développée d’une courbe en évaluant (d’après la forme de la courbe) les à longueurs des rayons de courbure en différents points de la courbe, « de tracer ensuite ces rayons de courbure ainsi que le lieu des centres de courbure. La formule (E), p. 207, donne les coordonnées d'un » point quelconque (x, 8) de la développée exprimées en fonction des » coordonnées du point correspondant (æ, y) de la courbe donnée. Mais 0 y est une fonction de +: par conséquent

= ‘ L 6 â y 2" ed , , N LarRol its ms tn 5 ST on D ds à ‘he il dut stand dédétias td ét res da à 4 it DLL if dt dun

RÉGLTe A > HER CHEVAL] JORRERTS He da 4 Cr: | dy ÀE | pi y 2 | d° ]

Nr is LS a a % Pet. er Le D La ES RO SE Sa Le x ÿ Xe RTL SERIES | Pur ST CERCLE ET GENTRE DE COURBURE | 211

nous donne NT Hédiatement les équations paramétriques de la déve- 3 ppée en fonction du paramètre x.

à Eu trouver l'équation rectangulaire ordinaire de la développée, méthode générale d'élimination s'appliquant à tous les cas ; la méthode à adopter dépend de la forme de l'équation donnée. Nos orand 2 ombre de cas, cependant, le lecteur pourra trouver “équation rec-

4 angulaire de Ja AETCORPEE en se servant des directives ci-après : FR É

Re ©

4 Directives générales pour trouver l’équation de la dévelop-

à a et y en te de x et de #s 3° opération. Substituer ces Lee de æ et dey dans L équation : donnée, ce qui donne une relation entre les variables x et & que est

pe” de la développée.

-Exeetr I — Trouver l'équation de la développée de la parabole y? = 4px

fig. 100 A D c ke ) 12 m2 ë ; È Solution. esp, Ye.

LL, LPS Fa dt 1 dx? fe HR He PR De el 9 CESSE y° “f 5 1° opération. A — OT + D, Re D PR Ru | # | Je APE RP ere == kp25)3 2e opération. € — À Tate y=—(4p).

pa —__… À Vos ce 2n RS EE 3e opération. (2p°8 — 2 3 “I } ss, E ; Fig. ROBES = | où pi — Ce — 2p}.

% n ne Print que + désigne l'abscisse et £ l'ordonnée d’un système de coorina ées rectangulaires, nous voyons que la dév reloppée de la parabole AOB est {la parabole semi-cubique DCE, les centres de courbure correspondant à 0, P, AC Pa sept Fschirament en C', C, GC, Co:

Exeurie 1. — Trouver l'équation de la dév PRES de l’ellipse

nous éliminerons æentre les de expressions. On ne peut donner de

b?x? + a° = ab (fig. 101).

+= dy. dr … dy dE de ay" dx? ay

; 2 h\y3 ESA RENE

1e opération.

ee 2 Fa Re - 3e opération. (aa)? + (hf)? — (a? — b?):, 1 relation qui est l’équation de la développée … EHE'H' de lellipse ABA'B’. Les points E, E’, H’, H sont les centres de courbure correspondant aux points A, A’, B, B’ de la

Fig. 101. courbe et C, C, C” correspondent aux points 3 RP" °PE e Quand les équations de la courbe sont données sous forme paramétrique, on pro= cède comme p. 182, pour trouver % e De ÿ en partant de. | dy de Ey — dy dr A dy dt - . dy = dt dt dt ar 714 (à) dx : dx 7 de? dx \3 MR RUE 4 : 0 HE vele dt | T4

et l’on substitue ensuite les résultats dans la formule (50), p. 208. On obtient ainsi les équations paramétriques de la développée en fonction du paramètre 4 qui se trouve dans les CHAUNe données. re

ExempLe IT. — Les équations paramétriques d’une courbe sont 2+1 LUE EN:

Trouver l'équation de la développée sous forme paramétrique, construire la courbe et la développée, trouver le rayon de courbure au point où t—1 et tra: cer le cercle de courbure correspondant. TR

6 ER (LÉ APRES | mA dt ERTY: dr 97 due d'y

F TE a

Solution.

La substitution dans les formules (A) Ci- dessus, el ensuite Es (80), L P. 208, donne Sa 4 » 1806 ; Ne 11)

1 : x ? LA 4 : 4 relations qui sont les équations paramétriques de la développée. En donnant

“Ali | CERCLE