RE

R7. DR RE OU LS EG # * En substituant dans (4),:1l vient

q: et Ta | . =(t—25 cos =. Réponse.

- Exewpre Il. — Etant donnés u — e%(y — z), y—a sin, z— cos x; trouver . 00 4 ÿ « F £ (£ t 4 PT OU du € z l D: Solution. — — ae%(y — tee =, Lt — ce, dy = A COS X, ——— — sin #. ER dE dy dz dx in

E: s Pc ubalituaut dèns (34), il vient 4 r - EAP > s-

qe De 06 — 2) + ae cos & + et sin à — Se Gb ai PE

e(a?+1)sin x. Réponse.

Note. — is les exemples semblables à ceux qui précèdent, w pourrait, par substitution, être trouvée explicitement en fonction de la variable indépendante + et ensuite différentiée directement, mais, en général, ce procédé serait plus long, É et dans -Héauçoup de cas il ne pourrait pas être employé du tout.

Les formules (54) et (52) sont très utiles dans toutes les applica- 2, tiônés se rapportant aux changements de valeur des fonctions de deux ou de plusieurs variables par rapport au temps. Le procédé est pra- È tiquement le même que celui qui a été exposé dans la règle donnée . p.160, excepté que, au lieu de différentier par rapport à # ro de 4 opération), nous cherchons les dérivées partielles et nous substituons Ë . dans (51) ou (52). Eclarrons ce qui précède Pa un exemple.

Exeweze IL. __ La hauteur d’un cône SALLE est de 100 mètres et décroit | - . à raison de 40 mètres par seconde; le rayon de la base a 50 mètres et croit à n. Yaison de 5 mètres : par seconde. À quelle vitesse le volume change-t-il?

é O4 On doit observer que LAN une valeur parfaitement TA AtES pour un point quelconque (&, y), “4

a Ronde que dépend non seulement du point (x, ») mais encore de la direction particulière Nr LE ini atteindre ce point, Par suite, ; | - AE : est appelée fonction relative à un point; T

‘2 tandis que s J du. ne porte ce nom que si l’on peut atteindre le poina (x, y) en suivant une direction FA EAIEES.

Solution. Soit x le rayon de base, y la hauteur; . A 23)

alors, GTA / eee 370% — volume.

WLÈE 2 RES MR ES Te RE nee <a ni TR NT Do e Substituons dañs (51), 4 du V2 ODA RE 4 ——- —REY— + TA — è dt 30 Var 3 M |

| Mais t=50, y=10, T5, 10 Fig. 107. e du 2 AS DES s ES D——T + 2500 : 10 des Sn S A OA LE D) 300 mètres cubes To par seconde. Rép. ï 126. Différentielles totales. — En à multipliant (51) et (82) 1 4 dt, nous obtenons FE Ro É (55) Ho Ne x+ dy, : | e ci À RPUTth c dy Æ (8) -. du = Max + May + z;

et ainsi de suite (”.

Les équations (65) et (56) définissent la quantité ne qui est” sne ACER de u, où djférentielle complète, et.

du, po sou u 7 dy y

“Fa : qui sont RES différentielles partielles. Ces dr

différentielles pride sont quelquefois désignées pa deu U, d US ALUS 1 de sorte que (56) s'écrit également ;

du = d,u + du + du.

Exewpse 1. — Étant donné u — arc tg , trouver du.

“The du DU a

Solution. PER R n dT LU dy a?+ y

En substituant dans (35), il vient Les. ; ER | MTS ædy — ydx Re.

du — —" x? 1 y

Réponse.

Exempe Il. — La base et la hauteur d'un rectangle ont respectivement 5 et. ke

C) Une interprétation géométrique de ce résultat sera donnée p. 306.

Fe DIFFÉRENTIATION PARTIELLE 229

7 res À un certain moment, elles croissent d’une facon continue à raison de 2 mètres et de 4 mètre respectivement. À quelle vitesse la surface du rec- tangle croit-elle à cet instant ?

Solution. Soit. * &.— base, y = hauteur ; 5 Fe : ; u = y = surface, 2 5 du du i L ce RES ? L ut É dE 01

En substituant dans BL), il vient

| = EMENCUIE dx di SCA Pas = yYy— + T Ben à ) 3 RARE TE MINT © Mais s æ—=3 mètres, y = 4 mètres, ‘ —9 mètres par seconde, cu — { mètre par seconde, TR ; ( D (8 + 9)? par seconde — 132 par seconde. Réponse.

Notre. — En CUT tu comme un accroissement infinitésimal de l'aire : dû aux accroissements infinitésimaux dx et dy, du est évidemment la somme de deux petits rectangles ajoutés sur les deux côtés, car, dans du = ydx + xdy [en multipliant (A) par dt],

s ydx = aire du rectangle vertical, et ædy = aire du rectangle horizontal.

Mais, l’accroissement total Au produit par les accroissements dx et dy est évidemment

S Ke "à | Au = ydx + xdy + dedy.

me. Par suite, le petit rectangle de l'angle supérieur à droite (drdy) est égal à la différence entre Au et du. La figure 108 montre que l'accroissement tolal : Der la différentielle totale d’une fonction de plusieurs variables ne sont pas égaux,