Différentiation des FNctone implicites; — L'équation
; 0 LA fe D 0
autre | g
ee Elle représente une équation quelconque contenant + el? y quand ee “tous. ses fermes ont été transposés dans le premier membre. Soit (B) cs NES OO DE
ASE LR HO DO AY. (53), p. 226.
Into ini A QUE da
ui Nous supposons u’un petit changement dans la valeur de x détermine seulement un petit #3 3 | changement dans la valeur de y.
pour toutes les valeurs admissibles de æ et: de y; nous pouvons dire
A Là Fr , LE se AT CR .
: g: SE à sn PE ? " Kit s 230 CALCUL DIFFÉRENTIEL ; | -
Mais d’après (A), fe, y) =0. | ie NET nie T0
: de — æ c’est-à-dire du du di C SR OR DRE EE | à (o) # YO dE
En résolvant par rapport à à” —1 LC), nous obtenons la formule ei- après ù
du (57) CEA STAR 5 Le do 24 Dot dy.
qui sert pour différentier les fonctions’ implicites. Cette formule sous la forme (C) est équivalente à la méthode employée au $ 63, p. 77, pour différentier les fonctions implicites, et tous les exemples de la p. 78 peuvent être résolus en utilisant la formule (57). Puisque
(D) DOPEU RES": =: 43
que (57) donne la relation entre les coefficients différentiels de x et de y par rapport au temps, pour lesquels f(x, y) ne subit aucun changement. ”
Géométriquement ce FÉSUALSE signifie que le point (x, y) doit se M déplacer sur la courbe dont l'équation est (D), et 2) détermine He direction de son mouvement à tout instant. Puisque
TERRE 0 y). , | :
nous pouvons écrire (57) sous la forme
(57 a) a — Dern dx dfE 7.204
dy à à
Exewpze L — Étant donné ay" + sin y = 0, trouver CEE COLE PS
dé
nr
() On suppose que — 2 et existent. N “ + LE ; 5 :
É nb Cd RS, Te Pia d efate trE Hi Mets 2 "He DIFFÉRENTIATION PARTIELLE 231 __ Solution. Soit fe, y) = 2°y* + sin y.
ne vf of 2e Rs LD L = 4x + COS y; 5e Ste M a EU ti ly dry. Ée ; d'a rès 37 a . SEEN Se LS En Réponse.
P s( ) dx." 4x1 + cos y à a | ExewLe [L. — Si x croit à raison de 2 centimètres par seconde en passant
k par la valeur x — 3 centimètres, à quelle vitesse y doit-il varier quand y — { cen- “4 timètre pour que la fonction Qy1°? — 3r?y reste constante ?
— Solution. Soit GT CE ARE re En LE
| df = D — Gry, if an AT — 34.
gs En s Eubstitoant dans (51 a), il vient
; 12 1e CRE Étane Gay dx y — 3x?
dy . LT ne D'après (33), p.160.
| dt cs a 3 REA “ — 2 - centimètres parseconde, Réponse.
= ECC Uy RE)
et soient PC ete AP des sections faites par des plans passant par P rallèlement aux plans YOZ et XOZ (fig. 109). Le long de la courbe F5 Fa AP, y est constant. Par conséquent, d'après
—2C (E),sest une fonction implicite de + seul, et nous avons, d’après (57 à).
Ms dF 70 7D x É de TE Go | ox OEM | dz
É: “relation 6 qui HSE la pente au point P de la courbe AP, S$ A2 p. 222. | 5%
On emploie dau lieu de CE dans le premier membre, parce que,
ce. d l'après (E). gs était primitivement une fonction implicite de æ et de y; on nais la. Au (58) est déduite dans l'hypothèse que y reste constant.
4 A, = 45. LS LS Æ CAES
Ce à = né ' F. PT 27 VER «16 ?; : | 3
AC ee Fe E RW. OL Kite are us Lever PEN DES SD LES 2 PSE EEE | . £ | | æ 232 CALCUL DIFFÉRENTIEL ; x De même, la pente au point P de la courbe PC est dz dy | | | (59) Rs j | dy dF dz 6 EXEMPLES | : Trouver les dérivées totales dans les ‘six exemples ci-après, en utilisant les x formules (51), (52) ou (53) :
Lu 2,7 =sint yes = + : Rép. Je ES æ + COS x) + sin D.
dx is; AS AAC ten As et D. Ur ATOLEURU)AU EE ÈS PRES Rép.
3. u— log (a? — £?), o— asin 0. | DT | RE a AU = rene lots, yen EE ou TI + ve.
’ LAS AR ES . Uu—afCsin(r-=s);r— 36, sat: Pre 6. u— RUN SE WE ASIN TL EEE COST. EUR Qu car sin 7 Lo F 1 dx
Trouver les différentielles totales dans les huit exemples suiv ants, en utilisant \ fes formules (55) ou (56).
