sin (ty) — 6e — x°y — 0. ah Se a de .ax[r+e — cos(xy
128. Dérivées partielles successives. — Considérons la fonction
en général, °! = ae ont des fonctions de + et de y et peuvent Être Go 0y |
différentiées de nouveau par rapport à l’une ou lautre FAR indé- "4
pendante, ce qui donne des dérivées partielles successives. En regardant æ comme variant seul, nous désignons les résultats par d'u d'u vu d'u 7 | d'u As à dat dL"
ou, quand y varie seul, d'u d° du d'u ja er ET
È we de ) dy Va dy" " og"
la notation étant semblable à celle SU pour les fonctions is une seule variable. |
Si nous différentions w par rapport à æ, en regardant y comme constant, et ensuite, ce résultat par ie à y, enregar dant æ comme constant, nous obtenons
dd
0° ou ie nous désienons par dy y dd
De même, si nous différentions deux fois par rapport à æ et ensuite une fois par rapport à y, nous désignerons le résultat par le symbole
d'u ea E dYd I?
129. L'ordre de différentiation est indifférent. — Considérons 4 la fonction f(x, y). En changeant x en æ + Ax et en laissant y
4 DIFFÉRENTIATION PARTIELLE 235
constant, nousobtenons. d'après le thé orème de la moyenne(46), p.190,
. (À) f@+Ae,p)—/f(r,ÿ= Ar. fr +0. Ar y 0<H<A.
#4 {a = x, Ac = Az et puisque x varie pendant que y demeure constant, nous obtenons la dériv ée partielle par rapport à x.]
Gi maintenant, nous changeons : y en y + AY; en laissant æ et Ax constants, l’accroissement total du membre de gauche de (A) est
; (B) + de, y+Ay)— fs y + An] — [fe + Ar, p— fr, pl.
L'accroissement total du membre de droite de (A) trouvé par le théorème de la moyenne, (46), p. 190, est
BC) Axf(a +0 A, AY) Arf(c +6. Ae,y) 08 LA | — AyAr} ir +86,: A, y+-6,-Ay). 0<H<LI
» fa=7y, Aa = Ay et puisque y varie pendant que x ét Ax restent constants, nous obtenons la dérivée partielle par rapport à y.]
Puisque les accroissements (B) et(C) doivent être égaux, nous avons.
à (D) (GA, y+Aÿ)—/Cr.y + AP} —[/Cr+ Ar, ÿ)— fa) — AyA%f, (2 + 0: - A: y +6 Ay).
UT (Ces \f 4
TRETS .
Si nous prenons les accroissements dans l Nate nous obtenons de la même façon
:445) (/Cœ+ Ar, y+Aÿ— fe + Az, y) — [fe y + Ay)— fx. y)]
MEL ent: fs) Las < ” 4
Eve | — Ag (x +6: A, y+0,-Ay).
4 6, et 0, étant également compris entre zéro el l'unité.
Ë . Les membres de gauche de (D) et (E) étant identiques, nous avons D CE) Cet 0. A, y 6 Ap—/fl{r +6: Ar, +06: Ayÿ).
En prenant la limite des deux membres quand Az et Ay tendent Vers ZÉTO, NOUS avons
nf
AO) Ge, D) = LA, 9)
puisque ces fonctions sont supposées continues. En posant #—/f(x, y). ; (G) DE TRE
