L. peut s'écrire
- | (60) d'u ra du
1e | dYdXx OxÙdY
c’est-à-dire que /es opérations de différentiation par rapport à + et par rapport à y sont commultalves.
7 w + + dt: Va ge r rs LA 2 L À ie. ta ? tx = +. CA ARE 2 Ce Lt: x « + ne D ARS 4 Fe Nc “+ FA En Le # ue” À se 2 . F4 ù = De Le HR 7 PET PS | 1 # rie ÿ ; # + v e Page = é “ : 731 Le ” à NEA « P 236 A CALCUL DIFFÉREN TIEL K:=
Ce résultat peut facilement être étendu aux dérivées d ordre : supé- + rieur. Par exemple, puisque (60) est vrai, x
2 ( CNRS Cd de | RE) = du dy dr \drdy) ddr - dady dr] ddr dr É EUEx
De même pour des SARA de trois variables ou plus.
ARR, Exeupe. — Étant donné u = #7 -— 3x2y5, SATE ÈS SRE : dE d TOY ù ; Solution. - U 3%? 2 — = 6x u, HR pe 18xy? dE | " èp yo # 7$ a — —= 43 — Yr?y?, HMS — Sup ; dy 7 dudy par suite la vérification est faite.
EXEMPLES Sr gr du DU. | - Au —= cos (rt + y); vérifier que = = —.
É à DYdE | ri WAVE > £ 5 9 F * 2. u = Le = vérifier que —— Re ou :
RE U DYdE DTdY. > cn ou __ du 3. u—ylog( GE z D: vérifier que = :
DyÈT 0 TOY NES du DU. ; 4. u — arc tg T : vérifier que = :
2 Ë RE | À dr2ds sr?
«9: U—= sin (09); vérifier que HSE Le
| d00P?. dz?0 6. u — 6ety?z + 3er x222 + Derndy — vyz ; | |
ky | :
n montrer que RE —= AQ(ety + eïz Her).
dL?0YDZ 7. u—=e""; montrer he L + 371 2e = PE ARE AETTR TERRE 1 Le TYZ + LU? 2)u. Z d T0 ydz à 3 : , LS ay? nan D?U — Lou | Sr 8 u— —" ; montrer. ut T—+y— —=d— TVA E+Y. bz:2 ue dE Ju tr p : montrer Lies Jr ay ep Le : dT toy 0Y* O1 Na > | æ D A PS Se ia 10. u— 2e? + ze? + x°y?e? : montrer que = €? +e? +e?. - .- day?
Re AT OU DA, Du Aou—=(r+yÿ +2?) ?; montrer que —+— Fire dt? dy? (De? À z À Ê <> y 2 £ PE é bi £ LS ; = $ É 7 s MT dei DE RE SR EN ST
CHAPETRE XVI
ENVELOPPES
130. Famille de courbes. Paramètre variable. — L’équation d’une courbe comprend généralement, outre les variables x et y, certaines constantes dont dépendent les dimensions, la forme et la position de cette courbe particulière. Par exemple, le lieu d'équation
(A) @—+yÿ=r est un cercle dont le centre se trouve sur l'axe des æ, à une‘distance y « de l’origine; sa grandeur dépend du:
enveloppe B rayon 7. Supposons que > prenne une
S RER RSR ne TX AIX I Hi série de valeurs ; nous aurons alors une RL AU) D série correspondante de cercles différant | y par leurs distances à l'origine, ainsi que
C enveloppe =: D
le montre la figure 110. Fig. 110... Tout système de courbes formé de cette façon est appelé une famille de courbes, et la quantité «, qui est Constante pour une courbe quelconque, mais change en passant d’une courbe à une autre, est appelée un paramètre variable. | Il existe des problèmes qui comprennent deux ou plusieurs paramètres, ainsi que nous le verrons plus tard. On dit que la série de cercles dont il est question ci-dessus est une famille dépendant d'un seul paramètre. Pour indiquer que + est un paramètre variable, 1l est d usage de insérer dans le symbole fonctionnel ; on obtient ainsi
fx. VE 2} = (.
131. Enveloppe d’une famille de courbes dépendant d’un seul paramètre. — Les courbes d’une famille peuvent être {angentes à la même courbe ou groupe de courbes, comme dans la figure 110. Dans ce cas, on applique le nom d’enveloppe à la courbe où groupe
- de courbes, Nous allons maintenant exposer une méthode pour trou-
ver l’équation de l'enveloppe d’une famille de courbes. Supposons que la courbe dont les équations paramétriques sont |
A) | ad) y soit tangénte à chaque courbe de la famille
GB) (,y,2)=0, | le paramètre 3 étant le même dans les deux cas. La pente. de (A) en un point EU est
; dy __% YC) A :
0 Eee CD) DRo D ( ) de (2) ( ».p 90
et la pente de (B) en un point quelconque est
dy = CE: y: 2) RTE —— | 57 a),p. 230.
oo &— fus GTR
Par suite, si les courbes (A) et (B) sont tangentes, les pentes © et (D) seront égales (pour la même valeur de 4), ce qui donne
OBS FC) œ (a). FE J> 2)
(E) fe: y: 2) a) + Le: y, VC) = 0.
Par hypothèse (A) et (B) sont tangentes pour toute valeur de «; par suite, pour toutes les valeurs de &, le point (x, y) donné par (A) doit se trouver sur une courbe de la famille (B). Par conséquent, si nous substituons les valeurs de æ et.de y tirées de (A) et de (B), le résultat sera vrai pour toutes les valeurs de +, c’est-à-dire que
EX fleC), Ya), a] =
La dérivée totale de (F) par rapport à + doit donc S annuler étr nous 20 obtenons à
(G) POMÉTOEN OCTO TOEN COTE
relation dans laquelle ON EUO) La comparaison de (E) et de (G) donne
(H) re L'ORÉAL | Par. on les équations de l’enveloppe satisfont aux deux 4 € quations (B) et (H), savoir : 5 7 D. : feu, s)—0 et es ge) 20: ‘2 : FER
ENVELOPPES ‘ 239
c’est-à-dire que les équations paramétriques de l’enveloppe peuvent ôtre trouvées en résolvant les deux équations (D) par rapport à #
et à yen fonction du paramètre x.
- Directives générales pour trouver l’enveloppe.
* 1 opérahon. Différentier par rapport au paramètre variable, » en considérant toutes les autres quantités contenues dans l'équation donnée comme constantes.
2 opération. Résoudre l'équation qui en résulte et l'équation donnée de la famalle de courbes par rapport à x et à y en fonction du paramètre. Les solutions obtenues seront les équations paramctriques de l'enveloppe.
Note. Dans le cas où l’on cherche eur rectangulaire de l'enveloppe, nous pouvons élminer le paramètre entre les équations paramétriques de l'enveloppe ou bien éliminer le paramètre entre l'équation donnée (B) de la famalle et la dérivée partielle (H).
Exewpce L. — Trouver l'enveloppe de la famille de lignes droites + Le T COS à + y SIN x — p, a étant le paramètre variable (fig. 411).
Solution. CAS ŒCOSax +ysina = p.
. 1'e opération. En différentiant (A) par rapport à «, il vient (B) — & Sin a+ y cos x — 0.
ds id HT 2 5 «0
2e opération. En multipliant (A) par cos x el (B) par sin x et en retranchant, nous obtenons Re. T — P COS 4%.
De mème, en éliminant + entre (A) et (B), nous obtenons Re | y—=#sinc.
Les équations paramétriques de l’enveloppe sont par conséquent el (C) (T—?p cos %, | y —=psin a,
« étant le paramètre. En élevant au carré les équations (C) el en additionnant, nous obtenons
Dr bert We Sn me;
comme équalion rectangulaire de l'enveloppe, laquelle est un cercle.
À RTC Exewee IL — Trouver l'enveloppe d'une ligne = ;, de longueur constante a, dont les extrémités se - déplacent le long de deux axes rectangulaires fixes (/g. 112}
BAD A AT CALCUL DIFFÉRENTIEL FEES Solution. Soit AB — a en longueur et soit | | 160 (A) æCoSa+ysina—p—=0. 5 4
son équation. Comme AB se déplace toujours en touchant les deux axes, « etp 0
varient tous les deux. Mais p peut être trouvé en fonction de &, car rc
OA ABCosa= dcos as =
et p = OA sin à — a sin & Cos +. En substituant dans (A), il vient (B) æCoOSa+ysinx—asinacosa—=0,
relation dans laquelle « est le paramètre variable. | Différentions (B) par rapport à «, nous obtenons Vire
(C) — x sin « + y cos à + a sin?x — a COS? x — 0.
En résolvant (B) et (C) par rapport à x et y en x fonclion de «, nous obtenons
| non (D) Rain y = A COS.
Ce sont les équations paramétriques de lenve-
Fig. 112. loppe, qui est une hypocycloïde. Ë > |
L’équation rectangulairé correspondante se
trouve en partant des équations (D), et en éliminant + comme il suit : 2 2
NBI a Six,
"En additionnant. il vient :
relation qui est l'équation rectangulaire de Phypocycloïde. : Exewpse IL — Trouver l'équation rectangulaire de l'enveloppe de la ligne 4 droite y— mx +2, où la pente m (coefficient an- Le 245 m ; +":
gulaire) est le paramètre variable (fig. 113).
Solution. Y = MT + LERS | mn 1'e opération. 0 = x — | RON
En résolvant, il vient
En substituant dans l'équation donnée, on obtient
Dre ENVELOPPES 241
et, en élevant au carré, = 4pa,
5 A Nr :
telle est l'équation de l'enveloppe (une parabole). La famille de lignes droites à obtenue en faisant varier la pente m est représentée par la figure 143. Chaque ligne est langente à l'en eloppe, car nous savons d'après la géométrie analytique
que y = mi + est la tangente à la parabole y? — 4px, exprimée en fonction
de sa pente m (coefficient angulaire).
die à ter, de pit re
(1 132. La développée d’une courbe donnée considérée comme à l'enveloppe de ses normales. — Puisque les normales à une - courbe :sont toutes tangentes à la développée, $ 118, p. 209, il est évident que la développée d'une courbe peut é net être définie s. comme étant l'enveloppe de ses normales, c'est-à-dire comme étant 4 le lieu géométrique des intersections denormales infiniment voisines. Il est également intéressant
LS Q 5 È | : , . SE de noter que si nous trouvons les équations para- . r R 2 =} r ESS métriques de l'enveloppe par la méthode du para- DS RS Fe: graphe précédent, nous obtenons les coordon-
Sop
nées æ et y du centre de courbure; de sorte que nous avons wñe seconde méthode pour trouver les coordonnées du centre de courbure. Si, maintenant, nous éliminons le paramètre varfable, La nous avons une relation entre æ et y qui est | l'équation rectangulaire de la développée (enveloppe des normales).
1% be donnée k Fig. 11%.
D: - FPS 2 Trouver la développée de la parabole y? — 4px QUES comme 3 Ro. de ses normales.
Solution. L'équation de la normale en un point quelconque (x, y") est
- SA : Le ol , OUT: L
ut =} 6e my d’après (2), p. 85.
4 Lorsque. nous considérons les normales tout le long de la courbe, +’ et y!
# Dyarient. Enéliminant x! au moyen de y? — 4px', nous obtenons léatet de la normale : | |
@) | à PRUMEUTEE
L'ASNT TE Sp* 2p È PACA y!-comme le paramètre vari iable ; nous voulons trouver l'enve-
3 pre de cette famille de normales.
men différentiant (A) par rapport à y’, il vient
pe or, } | 80°? é 9p° GRANviLE, Calcul diff. et int. 46
suivant.
Lg FORTIS UT PRE TER SD ES RAT ONE + | 14 s 4 ù EX L # " x x 2 # FT à , 4 e LA 3 NAT # Le, % à # Lu A #1 4 :
| SCT 242 d = CALCUL DIFFÉRENTIEL el, en résolvant par rapport à #, nous obtenons CEE ; Fi 83y/22t 8p? 4 (B) LD Dr Er4 4 +R Ua 8 à NS 4p
En substituant cette valeur de x dans (A) et en résolvant par rapport à y, il vient | À
(C) LUN OTeEE
(B) et (C) sont les coordonnées du centre de courbure de la parabole. Prises ensemble, (B) et (Gy sont les équations DAADIELRQUES de la développée en fonctien du paramètre y”.
L'élimination de y! entre (B) et (C) He x
27py? = (x — Ip},
équation rectangulaire de la développée de la parabole. Nous obtenons ainsi le. 4 même résultat que dans l’exemple [, p. 211, par la première méthode.
133. Deux paramètres liés par une équation de condition. — Dans un grand nombre de problèmes, il est commode d'employer deux paramètres liés par une équation de condition. Ainsi, l'exemple donné dans le paragraphe précédent contient les deux nd mètres x’ et y’ qui sont liés Fax l'équation de la courbe. Dans cet exemple, nous avons éliminé +’, pour ne conserver que le seul para 5 mètre y’. | | 0
Cependant, quand on éprouve des difficultés à effectuer lines à tion, l'équation donnée et l'équation de condition entre les.deux para- : mètres peuvent être différentiées par rapport à l’un des paramètres, : chaque paramètre étant considéré comme fonction de Fautre. Les méthode sera rendue évidente, en étudiant la solution du problème À
Exempce. — Trouver l'enveloppe de la famille d’ellipses dont les axes coincident et dont l’aire est constante (fig. 145). de
3 EN Pere y?
Solution. (A) : —+—=1 est l'équation de l'ellipse dans laquelle a-et & sont lé: paramètres variables liése #4
par la relation (B) . rab = k, HT SE NE
zab étant l’aire d’une ellipse dont les demi-axes sont a et b. Différentions (A) Fe. (B), en regardant a et b comme variables et x ety comme conslantes; nous av ons, en faisant usage des différentielles,
a?da , ydb Us à ne SR NU EL d'après (A), *
PAGE bda + adb —0, d’après (B).
M ENVELOPPES | | 243
PO 0 7 pe En transposant un terme dans le 2% membre de chacune des équations et en divisant, nous obtenons
É : cr == y° D a DE?
À * ie Par conséquent, d'après (A), EC 1 < . 9 14 41 “4 Dot et ESER Es TI = EE DATE De. ro ICI x ce qui donne S 6 NÉ Le Hi HU F — Le +8 Ÿ F- 4 Re ONE T b— + y/2.
De LT En substituant ces valeurs dans (B), : , N nous obtenons l'enveloppe à LR L. N AY = © x” £ +4 oveeu Fig 445: c'est-à-dire une paire d’hyperboles équi- | LÉNS £ latères conjuguées (7ig. 115).
È à Gr | EXEMPLES 4. Trouver l'enveloppe de la famille de lignes drôites y — 2m + mt, m élant cle paramètre variable. Rép. œ—=— 2m, y—=—S3mt; où A6Y + It — 0 (*).
% La: Trouver l'enveloppe de la famille de paraboles y? = a(x — a), a étant le K e RS variable,
La ronier I Dechee de la famille de cercles +? + (y — FE) = 71?, $ étant le Le variable. Rép. Pepe
RÉDNTSTa NU = Eu" où VE rie
