TRÈS NET | RAS PEL AURS TT ARE ARE

© Un tel résultat est quelquefois appelé, pour plus de briéveté, somme de Ja te mais le LATE ne doit pas oublier que 2 n’est pas la somme mais la limile de la somme quand le nombre 7 \ de termes croît indéfitiiment,

Si maintenant, nous supposons que » croisse indéfiniment, la première fraction du second membre demeure invariable, tandis que la deuxième tend vers ZÉrO comme limite. Par suite

He ES a

ne PT A

nombre parfaitement défini dans un cas donné quelconque. *k Dans le 2° cas, la série illimitée est dite non convergente (Je Les séries de cette nature peuvent être divisées en deux classes.

PREMIÈRE CLASSE. — Les séries divergentes, fins lesquelles la. somme de # termes eroit indéfiniment en valeur numérique, quand n croit sans limite. Prenons par exemple la série n

SAIT SR AS TT sl

Quand » croit indéfiniment, $, croit sans limite et, par conséquent, la série est divergente. “is

Deuxième cLasse. — Les séries oscillantes dont Ses REA ER ER ne 54

est un exemple. Ici, S, est égal à zéro ou à l’unité suivant que n est pair ou impair et bien que je somme $, ne devienne pas infinie quand ‘ # croit indéfiniment, elle ne tend pas vers une limite, elle oscille. \ Il est évident que si tous les termes d’une série ont le même signe, la. 4 série ne peut osciller: | ‘2 Puisque la somme d’une série convergente est un nombre parfai= 4 tement défini, tandis que la somme d’une série non convergente 4 n'existe pas, il s'ensuit immédiatement qu'il est absolument essentiel dans un problème donné quelconque comprenant une série illimitée de déterminer si la série est ou non convergente. Cest là, cine ment, un problème d'une grande difficulté et nous ne considérerons que les cas les plus simples. *

136. Existence d’une limite. — (Quand une série est donnée, nous ne pouvons pas, en général, comme dans le cas d’une progres * sion géométrique, trouver effectivement le nombre qui est la limite

de $,. Mais bien que nous puissions ne pas savoir caleuler la valeur

() Quelques auteurs emploient divergente comme équivalent de non-convergente. ie

ds, d | SÉRIES 249

/ DUMÉRIQUE de cette limite, il est de première importance de savoir qu'une lite existe, car autrement la série pourrait être non conver-

gente. e

À Les théorèmes suivants que nous énonçons sans les démontrer,

- sont d’une importance fondamentale pour déterminer si une série est

ou non convergen{e (*).

£ Théorème I. artable qui croit constamment

lorsquen croût, mais reste toujours inférieure à un nombre définr

fixe À, quand n croît indéfiniment, S, tend vers une limite définie

quen'est pas supérieure à À..

= Théorème II. — SÿS, es{ une variable qui décroit constamment Be quand : ñ croûl, mais reste toujours plus grande qu'un nombre défini É. fire B, quand n crott indéfiniment, S, tend vers une limite définie gunestpasinférewre ab.

LÉ Théorème III. — La condition nécessaire et suffisante pour que . S, tende vers un nombre défini fire comme limite, quand n croût __ endéfiniment, est que

1e AS | limile /ç ÉIUS

14 J d FAN CO Brie. 51) —= 0

ee À pour loutes les valeurs de l entier p.

1 137. Caractère fondamental de convergence. — En sommant

4 CA abord n termes, puis 2 + p termes d’une série, nous avons ;

(A) A — Ui Er Us a Us + à — es Un:

D: (B) Sous RU Unit: Unie

En retranchant (A) de (B), il vient

% (O) ? : SR ar Se ES Un+i Fr Un, cs AN TE Up Hs

E: | ei D° après le théorème ITE, nous savons que la condition nécessarre 788 et {suffisante pour qu une série soit convergente est que

4 limite Je

‘d Same (oepotion) 0

pour toute valeur de p.

À Mais ceci est identiqué au membre de gauche de (C): par consé- | | -(*) Voir Introduction aux séries infinies d'Osgood, pages 4, 14, 64.

250 CALCUL DIFFÉRE NTIEL

quent, d’après le membre de droite, on peut aussi écrire la ci ‘43 comme il suit te

(D) Re Gi ue le eue RAS = DANONE

n— Puisque (D) est vrai pour toute valeur de p, en faisant p = 1, une condition nécessaire pour qu'il y ait convergence est que

Himite (us) D:

Par suite, si le terme général (ou n° terme) d’une série ne tend pas vers Zéro quand # tend vers l'infini, nous savons immédiatement que la série n’est pas convergente et il n’est pas nécessaire d’aller plus loin. Néanmoins, (E) n’est pas une condition suffisante, c’est-à-dire que même si le n° terme tend vers zéro, nous ne pouvons affrrmer que la série est convergente.

En effet, considérons la série harmonique ANSE | 1 Fe 1. é | Re D A AP UE TA PC ARUBA Par À \ - Ici, Te (u,y— litnilé fo — 0:

RAT, —= F n 7:

c’est-à-dire que la condition (Œ) est remplie. Cependant, nous pouvons montrer que la série harmonique n’est pas convergente par la HR 2.04

raison suivante : "6 6e