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4138. Séries de comparaison. — Dans beaucoup de cas, il est ‘facile de déterminer si une série donnée est ou non convergente en Ja comparant terme à terme avec une autre série dont le caractère est connu. Îl'en a été donné un SUR au paragraphe précédent. D' autre part, sol
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une série à termes positifs qu ‘on désire examiner au point de vue de da convergence. St une série à termes positifs que l'on sait déjà être | | convergente, savowr
F Kb) R'ANE RES PARTS Fe fe a
Docu être trouvée dont les termes ne sont. Jamais inférieurs aux ter-
mes correspondants de la série (A) à examiner, (A) est une série convergente et sa somme n'excède pas celle de (B). … Démonstration. Soit
3 és Sete arte Torre Tir Une Lietr ss PAR 107 EN Ven 2e Pat AR RUE
ds limite Rue à n= x SE A4 ARTE puisque S, < A el Ne. . il s'ensuit que $,< A. Par | suite, d'après le théorème [, p. 249, s, tend vers une limite ; par con- ‘4 séquent la série (A) est convergente et la limite de sa somme n est pas
supérieure à A.
ce Exempse 1. — Examiner la série COES PRO KG}. | A++ TT UE
È É Sobition. Chaque terme qui suit le premier est inférieur au terme correspon “à dant de E progression géométrique
4 ; À 14 + | he
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% ; | que l'on sait être convergente. Par suite (C) est également MANETE AN Let
\ Faure qui sont FES faciles à à appliquer que les théorèmes qui pr récèdent. |
FRONT re e re £ ne . avt fe De" | RS ni 74 à SE (a + PR PAR qe d hat ww ne 1 EL e ee Fo * sg LÀ Le, . > Eu F * { de 3 FL # 252 CALCUL DIF FÉRENTIEL
En suivant un raisonnement semblable à celui qui à été appliqué à (A) et à (B), il est évident-que si | j
est une série à termes AMD que l’on doit examiner êt HO les termes ne sont jamais inférieurs aux termes correspondants de la série à termes positifs : |
(F) bib +bs+e.., que l'on sait être divergente, (E) est une série divergente.
Exewpze IL — Examiner la série | /
Solution. Cette série est divergente, puisque ses termes sont plus grands que
les termes de la série harmonique oe À DST ? RE L FU +, que l’on sait être divergente (pp. 250, 251). AE | De ExewPLE L. — Examiner hi série suivante (appelée série p) pour différentes valeurs de p :
(G) | AG ER DE ee 9p, 3P Ar Solution. En groupant les termes, nous avons, ne p>=4, 1 1 NOM dr + 3e ne 9p | Qp 9 Di.
1 il Lits 4 1 1 EST 1:52v2 SRE Feu 16 1 Ban 4 ere 47:41 1 1 LES AENS RCE RTE MUTT D Cote ta tar a 20 He PSE SR (ae) N et ainsi de suite, Re | Formons la série (H) ae SE EE A Pet 9p—1 9p—1 9p—1 }
Quand p 4, la série (H) est une progression géométrique dont la raison est. inférieure à l'unité : elle est par suite convergente. Mais, la somme de (G) est : plus petite que la somme de (H), ainsi que | le montrent les inégalités ci-dessus. Par conséquent (6) est également une série convergente.
Quand p — 1, la série (G) devient la série harmonique, que nous savons ètre > divergente, et aucune des règles ci-dessus ne s'applique.
Quand p <1, les térmes dela série (G) qui suivent le premier FE, plus 7. grands que les termes correspondants ie la série harmonique. Par suite, la série #4 (G) est divergente. ; |
D: S NE) TA à SRE | 2531
1 + ni ‘ K \ 4 | Fe ï K Æ à “éxaminer au point de vue de la conv ergence la: série à termes positifs SP + ci-après: 8 RES (A) | | LG A Ua ax 3 LUS : A A É Divisons un terme général quelconque par Es qui le précède à | immédiatement, c’est-à dire formons le rapport ; 14 EX Quand n croit sans limite, REUTERS 0 “4 ner. à $ ; A limite pan e ’, ER ar A e en el R #4 dr R Ÿ n ee Un ñ #4 E Quand << 1. D'après la définition d’une limite SMS DAT, È nous pouvons choisir n suffisamment erand, soit » — 7, pour que quand nm le rapport ELA! diffère de : d’une quantité aussi petite + u 3e ns n que nous voulons et, par conséquent. inférieure à une fraction pro-" . prement dite ». Par suite, 4 : LA 5, 34 < Un Fr; Un 2 << Un+17 o TEE ; Unzs <C UE: ; etainsi de suite. Par conséquent, après le terme #,, chaque terme de 2 la série (A) est imférieur au terme correspondant de la progression 5 géométrique Ê . ds CE - ; PAT: : g É (B) es 4 RE: S UT te UT Ta LES RE Lx ë Mais, puisque r<1, la série (B) et par suite aussi la série (A) est convergente 4.
a Quand : o > 1 (ou =). En suivant le même raisonnement Fe que dans L, on montrerait que la série (A) est divergente. à CH Quand e=l. la série peut ètre convergente ou divergente, A c’est-à-dire qu'on ne peut rien affirmer. Car, ons érans la série p | ci-après : Pt | SÉRPNTES I ak Il I lue f 1 #e PSP NE TONES PME DURS Ê 2° 32 L! ru! fe PE DR. 1} ee Le rapport. à examiner est le suivant : ? | . È be : Unis 2 11 \? ES Î I : & 0 à. | | k “HE en En er or -Lies ( È . He 11 A : Eos * \ nu) La ? ? dE?
© Quand on examine une série pour déterminer si elle est conv ergente, on peut négliger un nombre fini quelconque de termes. En opérant ainsi, on affecte la valeur, mais non l'existence de la . # “limite, ù À £ A5" = 4 PT L + f A OT ? * AT dé { me ‘ è
29% : | CALOÙL. em s a limite /#41\ "= limite (1— LEAVE MANS nes (a) Tree (et Ce >»
Par suite + = 1, quelle que soit la valeur de p. Mais, ÉD: 252, nous avons montré que :
quand p > 1, H série est convergente, pli quand p < < 1, la série est divergente.
Il apparaît ainsi que 9 peut être égal à l’unité pour es séries CON- “vergentes et pour les séries divergentes, et que dans ces conditions, la règle du rapport de Cauchy est en défaut. Dans des cas semblables, il y a d’autres règles à appliquer, mais : niveau de cet ouvrage ne permet pas de les exposer.
Les résultats qui précèdent peuvent être énoncés comme il suit :
Etant donnée la série à termes positifs
Us Us Us 2 2 2 Un Uni trouver la limite pour # = du rapport t—e.
Un * I. Cd p< 1°), la-série est conv ergente.
TT Quand : > 1, la série est divergente. :
