IL. Quand b— 1, on ne peut rien affirmer. ne

140. Séries alternées. — On donne ce nom à des séries dontles ® termes sont alternativement positifs et négatifs. Des séries de cette nature se présentent fréquemment dans la pratique; les ont une importance considérable.

SE Ro om er

est une série alternée dont les termes ne croissent Jamais en valeur. “i

numérique el st limite,

\ — 2 la série est convergente.

-+l Gevienne et reste inférieur à l’unité pour toutes les valeurs

Un+1

(*) Il n'est pas suffisant que

Un & .den;il faut encore que la limite de soit inférieure à Punité. Par exemple, ‘dans le cas de la SR

série harmonique, ce rapport est CURE plus petit que 4 et cependant la série est divergente, “4 comme nous l’avons vu. LEE limite, en effet, n’est pas inférieure à l’unité, mais FES à l’unité. *

Rte Démonstration. — ‘La somme de 9n termes (nombre pair) peul 4 ‘8 ‘écrire sous les deux formes suivantes :.

(A) S (ui — U:) Se (us — u,) + (u, - be 5) +: FR CPE A à

S$, = Fes (us — u3) — (u, UN 2

æ " Puisque chaque différence est positive (si elle n’est pas nulle) elra

linite | cp Un == 0 exclut l égalité des termes de la série,

à * que l hypothèse ,,

: la série. (A) montre que S,, est positive et croit avec », tandis que la série (B) montre que S,, est toujours inférieure à «, ; par conséquent, d’après le théorème I, p. 249, S,, doit tendre vers une limite infé- Û rieure à 4, quand x croît et la série est convergente.

el Examiner au point de vue de la convergence, la série alternée. D Ne DU A APE EA ne A Mu à | k 3 4 à DÉpation Puisque chaque terme est inférieur en valeur numérique à celui : que le rs et que | a is limite (u,) — limite FLAN 0 ù TN ELES SRSRE LR) LEE PTE LA ON ; “18 “série es convergente.

: 141. Convergence absolue. — On dit qu’ une série est pete

sont dites no uns d'une ni: non absolue ou conver oct Æ AC D enetemen() A cette Lane ae NpGTHORent quelques

= est De conte % CA Las série. |

V0 Ou encore semi- -convergentes.

"À. 7 foie *