RE ES EXEMPLES
bétantiines la plus grande erreur possible et le pourcentage de l'erreur commise en calculant là valeur numérique de chacune des fonctions suivantes, d’après les séries correspondantes : i
| (a) quand tous les termes après le second sont négligés ; EEE e | .() quand tous les termes après le 3° sont négligés. #7
Don ed), Puisque 0,0083 : 0,8333 — 0,04.
162 Puisque 6, 000198 : Q, 841666 — 0 “00023.
. pre ; 1; COS, 4. arc tg 1. AC rRST 2. Sin 2. Des 8. arc tg 2.
4 M RTE 3. COS ré 6. sin a 9.*sin 15% IL. — Calcul de + au moyen des séries. — D'après l'ex. 8, p. 269, % “ va ; + nous avons 4 1. L : DOS LME, Li DEL à ArC SIND Blouse —+- :
18 Puisque cette série est Rene pour toutes les valeurs de + com- D De 1 “4 | ù . prises entre — 1 et +1, nous pouvons poser a ce qui donne PA et . + il RES EE 6 2 JUS LAND?
ou ments Pi 4 EC
Evidemment, nous aurions pu utiliser à la place de cette série, celle de lex. 9, p. 269. Ces deux séries convergent lentement, mais il y à d’autres séries trouvées par des méthodes plus compliquées, au moyen desquelles la valeur de + peut être facilement calculée avec un grand
nombre de décimales exactes. US
NE — Calcul des logarithmes au moyen des séries. — Les séries jouent un rôle très important dans les calculs nécessaires à 5 construction des tables de logarithmes.
D’après l'ex. 6, p. 268, nous avons
= DRE MARS Re RER à + {
He CAR RO OR A Lg +HX) = + + — Cette série est convergente pour æ—1 et nous pouvons trouver
log 2 en faisant æ — 1 dans (A), ce qui donne
Ée. eo Ep Es RE PS LE
4 ; 0 DA US A A A ue # 2 DENT TL ES CE
Mais cette série ne se prête pas bien à un calcul numérique parce
de À qu'elle converge si lentement qu'il serait nécessaire de prendre 2000 . termes pour obtenir la valeur de log 2 avec 3 décimales exactes. En
vue du calcul des logarithmes, nous allons établir une série convergeant rapidement. , æ D'après la théorie des logarithmes,
(B) log , ne : — log ({+ax)—log({— x). D'après 8, p. 1.
En -substituant dans (B) les séries équivalentes à log(1+#) et - log (1 — &) trouvées dans les ex. 6 et 7, p. 268, nous obtenons (*)
| RM RUE So CO). Cent En RS het
série qui est convergente quand æ est numériquement imférieur à Punité. Posons : M AN
(l L M ) RAA ét jo MN, | (D) | en d’où 3: MEN
nous voyons que æ sera toujours numériquement inférieur à lunité | pour toutes les valeurs positives de M et de N. En portant dans (C) - la valeur de # donnée par (D), nous obtenons
(ED log M = log M — log N
| à 9[M—N 1 M—N\, 1/M—N\: < ne. | ee AE ee are | série qui est Dore pour toutes les valeurs positives de M et de N :etilest toujours possible de choisir M et N de façon qu’elle con- verge rapidement.
En faisant dans (E) M —2 et N— 1, nous obtenons
Eu FA IS FORD Ne EN PA Fe Ra
4 ] oo 2 RTE | D. ee EE . QUE EMA
Di. te sr + | =— 0693148718... ÿ
[ Puisque log N = log i — 0 LE Ne TE A MÉEN + te
En faisant dans (E), M— 3 et N —2, nous obtenons
M hiuri.
Il'est seulement nécessaire de calculer les logarithmes des nombres premiers de cette façon, les logarithmes des nombres composés étant trouvés en utilisant les théorèmes 7-10, p. 1. Ainsi, |
log 8 — log sd l08 22 ,07944184 lo 6 — log 3 +log2=1,79175947..
(*) Le lecteur devra observ er que nous avons traité les séries comme si elles étaient des sommes .
ordinaires, mais elles n’en sont pas; ce sont des limites de sommes. La justification dé cette facon de faire est au-dessus du niveau de cet ouvrage.
GRANVILLE, Calcul diff. et int. | DENTS
Tous les logarithmes qui précèdent sont des /ogarithmes népériens ou logarithmes naturels, c'est-à-dire que leur base.est e— 2,7182818. - Si nous voulons obtenir les logarithmes de Briges ou logarithmes vulgaires, à base 10, nous n'avons qu'à changer la base au moyen de la formule
OS ot — ] Ainsi.
log,2 __0,693:::
LA os ARE D 802
SA a
Dans le calcul réel d’une table de logarithmes, quelques-unes seulement des valeurs qui Ÿ sont inscrites sont calculées au moyen des séries, toutes les autres étant trouvées en employant des théorèmes de la théorie des logarithmes et des. procédés ingénieux et variés destinés à abréger le travail. | LL
EXEMPLES Calculer par les méthodes de ce paragraphe les logarithmes ci-après : 1. log, 3 —1,6094... 3. log, 24— 314781...
