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147. Formules approchées dérivées des séries. Interpolation. — Dans les deux précédents paragraphes nous avons évalué une fonc tion d’après sa série entière équivalente én substituant là valeur donnée de æ dans un certain nombre des premiers termes de cette série, le nombre des termes utilisés dépendant du degré d éXactitutes 000 demandé. Il est d’une importance capitalé de noter que cette Opéra: ! | #4 tion signifie en réalité que nous considérons la fonction comme approximativement égale à un polynome ordinaire : à coeifrcients constants. NE Par exemple, considérons la série

X x A FACE ALE L Fe à 5 5 (A) Snt = 2 + B 2 EU

qui est une série alternée pour les valeurs positives el négatives de +. L'erreur commise, si nous supposons sin approximativ Hibut égal ? à la somme des # premiers termes, est numériquement plus. à

Rat | | DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS | JrS

petite que le a+ 1> terme eÉ 140, P- 254). Par exemple, supposons (B) ( SES

et cherchons pour quelles valeurs de + cette relation est exacte jusqu’à la 3° décimale." A cet eflet, posons.

(©) | La < 0,00,

ce qui donne x numériquement plus petit que \/0,006 (— 0,1817),

c’est-à-dire qu'on obtient QUE (B) trois décimales exactes hs de se trouve compris entre + 109,4 et — 109,4

L'erreur commise en négligeant dans’ (4) tous les termes qui SUI+

vent celui en æ"1 est donnée par le reste [voir (64), p. 266]

Net | (n) (D) FO):

OT rr| par suité, nous pouvons trouver pour quelles valeurs de x un polynome représente les fonctions avec un degré quelconque d’exactitude désiré en écrivant l'inégalité

(E) [R| < lnite d'erreur

et en résolvant par rapport à æ, pourvu que nous connaissions la valeur maximum de /®%(x,). Par exemple, si nous voulons trouver

pour quelles valeurs de + la formule

Ce Te I =

donne deux décimales exactes (c’est-à-dire une erreur << 0,01) sachant que fa) e nous avons, d'après (D) et(E),

x le 001, c'est-à- dire|æ|<V1:2 2; À

ou | | \ a

. 3 g \ SES MIA Re Par conséquent + — nr donne la valeur de sin x avec deux décimales exactes si [æ|<Z1, c'est-à-dire si æ se trouve compris entre + T° et — 57°. Ce résultat concorde avec la RAA de (A) en tant que sérié alternée.

Puisque dans un grand nombre de problèmes pratiques, on de-

mande des résultats avec deux ou trois décimales exactes, l’utilité des formules d’approximation telles que (B) et (F) est évident. |

SI nous développons à nouveau sin æ par la série de Taylor (62), p. 264, suivant les puissances de æ— 4, nous obtenons

: Sin 4 | Sin æ — Sin 4 + COS A(X — a) — TE (x — aÿ +... | Par suite, pour toutes les valeurs de æ voisines d une valeur fixe { a, nous avons la formule d'approximation / (G) Sin © = SIN 4 + COS A(X — à).

. En transposant sin & et en divisant par æ — a, nous obtenons

Sin L'2=— SIN G * TS SACS (T LCL — A

Puisque cos a est constant, cette relation signifie que : Le changement de valeur du sinus est mo au change-. ment de valeur de l'angle pour des valeurs de l'angle voisines de a. Par exemple, soit a— 30°—0,5236 radian et supposons qu’on demande de calculer les sinus de 31° et de 32° par la formule d’approximation (x). Alors, sin 31°— sin 30° +- cos 30°(0,01745)() — 0,5000 + 0,8660 x 0,01745 — 0,5000 + 0,0151 — 0,5154. | De même, | $ sin 32° — sin 30°+- cos 30°(0,03190) — 0,5302.

Cette discussion illustre le principe connu sous le nom d’interpolation au moyen des différences premières. D'’ûne façon générale, d'après la série de Taylor, nous avons la formule d’approximation

Si la constante (a) =£ 0, cette formule signilie que le rapport des accroissements de la fonction et de la variable pour toutes les valeurs de cette dernière différant peu de la valeur fixe a, est

constant.

() æ— a 1° = 0,01745 radian.

Cependant, il convient de n’appliquer la formule (H) qu'avec précaution, car tandis que l'erreur absolue commise en utilisant (H) dans un cas donné peut être petite, le pourcentage d'erreur peut être si grand que les résultats soient sans valeur. ;

L’interpolation au moyen des différences secondes est alors nécessaire. Dans ce cas, nous utilisons un terme de plus dans la série de Taylor, ce qui donne la formule d’approximation

D fa=fa)+r (ax a) + 0x ay

Les valeurs de sin 31° et-de sin 32° calculées d’après (G), p. 276. ont seulement trois décimales exactes. Si l’on veut une plus grande exactitude, on peut utiliser (1), qui donne pour f(x) —

É sin @ (J) SIN Æ — SIN 4 + COS A(X — 4) — % (x — a).

Soit a —= 30° —0,5236 radian.

Alors, | sin 31° — sin 30° + cos 30°(0,01745 18) — — 0,50000 + 0,01511 — 0,06008 — 0,51503.

sin 32° — sin 30°-+ cos 30°(0,03490) — — 0,50000 + 0,03022 — 000030 * — 0,52992.

sin si

sin —

Ces résultats donnent quatre décimales exactes.

EXEMPLES

4. En utilisant la formule (H)-pour linterpolation au moyen des différences A premières, calculer les fonctions suivantes : 1

(a) cos 64°, en prenant a — 60e. « #4

(b) tg 469, en prenant a — 450. %

(ce) sin 850,1, en prenant a — 85°. #4

(d) cotg 109,3, en prenant a — 70°.

2. En utilisant la formule (1) pour l’interpolation au moyen des différences secondes, calculer les fonctions suivantes :

(a) sin 41°, en prenant a — 10e.

(b) cos 86°, en prenant a — 85°.

ETS D. >

278 CALCUL DIFFÉRENTIEL (c) cotg 150,2, en prenant a — 15°.

(d) tg 690, en prenant 4 = T0:

- . . . 3 U ù 8. Tracer les graphiques respectifs des fonctions +, RTE DE + les comparer avec le graphique de sin x. Dee VS ad < |

148. Théorème de Taylor pour les fonctions de deux ou plusieurs variables. — Le niveau de cet ouvrage nous permet seulement de traiter d’une façon élémentaire le développement des fonctions comprenant plus d’uné variable, d’après le théorème de Taylor. Les expressions du reste sont compliquées ; nous ne les écrirons pas.

Étant donnée la fonction

Gi NE FO on demande de développer la fonction (B) Ke fx +, y +) suivant les puissances de 4 et de 4. 3 = Considérons la fonction | HDI (C) fe + ht, y + kb.

Évidemment, (B) est la valeur de (C) quand {= 1. "En considérant (EU) comme une fonction de #, nous pouvons écrire

(D) fx + ht, y + KE — FCO,

fonction qui peut être développée suivant les puissances a Ê d après le théorème de Maclaurin (64); p. 266, ce con donne

(Œ) … F(0 — F(0) + FCO) +T F'(0)+- UNE o

ne maintenant les dérivées successives de F(0 par rapport

t, en fonction des dérivées partielles de F(£) par rapport à æ et y.

soit a ; | | (F) 2 = € + M, | 8—=y+ ht; | à

alors, d’après (51), p. 226, nous avons

dF da dF dE d8 Go, 5 Q= Da Pr 08 dt

A DÉY ELOPPEMENT DES FONGTIONS 270.‘ NOTE

à Rec.

| Mais d'après (E). é | 7e :@ Re pe ee dt | | dé dt À ;

‘et puisque F(0) est une lonction de æ.et de y par intermédiaire de x

et de ê nous avons DE ATEN. À:

dE dF x PRES CAE Re Fe

DX (da dr dY 08 dy ‘oi

4 fe EP x : dx dG | : 3 ou, HÉADrOS Che of Er À, à AUSSI EPRS RSR : LA D. | / 2 of 0E ie PAS ; (ee DeTi ps STE 28. | à

En substituant dans (G) d’après (D) et (H), il vient A : @) AE MAUR = HAT h 2 .

‘En Fins ro pe FD dans (J), nous Nr Fe SAT 72

| dE GE: 1,05) 7 0 F"(€ LE A BC +R R +R LUE NE = , dy os. . n A mat Less a 5 AY ùE dE dE | # e#(K "CE 2h fase à D FORME +R | On obtient de la même ae la dérivée pe qui s'écrit : pe po dE :; L) E(O=# 3 Pa :

: ) DEN term moon :

et ainsi de suite pour les déve d'ordre supérieur. À

EE Re

Quand {—0, nous avons d’après (D), (G),(J), (K). (D). F(0)=— 1 CL; y): 2008

c’est-à-dire que F(ê) est remplacé par /(æ, y), 10 FO) =4: 2 AE RE DE | > DOTE u ane Lf :

: AU 14 12 UO ns ee LE NET) TRE pv, 2.

dr D ME.

et ainsi de suite.

per MÉMTIES

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