PATES
8 AE eV 27 QAR 13 jo AS joe a he, K h - & Y hrs che AL à de Le RECU 4 LÉ ETS Nc ee e Eds aie ; De LE An ET ET DUT CR 10e d W L ; b i
En substituant ces résultats dans (E), nous obtenons SALES | df df (66) f(x+ ht, y+kt)— f(x, Éon dy à | Ê FRE LS ss ne LE Reis Pour obtenir f(x + X, y+#k) on remplace 4 par 1 dans (66), ce
- qui donne le {héorème de Taylor pour une fonction de deux variables indépendantes.
(67) f(x+h, y +k)=f(x, de
À d'f d'f Ho op D CR 4: 2 are JE dxd y Fo Tite ?
formule qui donne le développement dément suivant les puissances de À et de X.
Évidemment, la formule (67) s'adapte également au développement . de f(x + h, y +) suivant les puissances de + et de y en échangeant simplement æ avec À et y avec k. Aïnsi
df de | (67 a) fee y HE) =, Len yo 5 dh dk | 1 eIke SEAT ne 5 16% id. An ae) + | De mème, pour trois variables, nous trouverions Den a enr Ae y, 2) +R RU ANT re f, À ; dr.
——(-h US — + 2hk pus 2 ( dx” EE ns dxdY +2 DT + 2 re Re dydz
el ainsi de suite pour un nombre quelconque de variables. -
EXEMPLES
4. Étant donné f(x, y) = Az? + Bxy + Cy?, dév elopper 16 + h, y + À) suivant les puissances de h et de k.
Solution. LR 24% + By, = Bz + 2Cy ; 0y
dT
SUR D LEE GA A à MR qu QU Mr au dy? z La dérivée partielle troisième et les dérivées partielles des ordres supérieurs sont toutes nulles.
En substituant dans (67), il vient
f@+R, y + k) = Ar? Ra LC TOR BR EE + 2CyYk + AR + Bhk + CR. Rép.
Jr A Étant donné f(x, y, z) = Ax?+ By? + Cz?°, développer f(x +1, y + m, at
suivant les puissances de /, m, n.
Solution. . = 9A%, : — 9By: = 2Cz :
07 1 0Z SO RO A OR QUE ee DUC D ma DEe cu de ef.
dr? dy? az? DE0Y DY0Z ddr La dérivée partielle troisième et les dérivées partielles des ordres supérieurs sont toutes nulles. En substituant dans (68), on a f(a+lytm, z+n)= Ar? + By? + C2 + 2Arl+ 2Bym + 20zn RATS Bm° + Cn°. Rép.
3. Étant donnéf(x, y) = Vx tg y, développer f(x + h, y + k) suivant les puis-
sances de À et de k.
4. Étant donné f(x, y, :) = Au? + By? + Cr? + Dry + Eyz + Fzx, développer f(x + h, y+k, z+ 0) suivant les puissances de h, k, L.
149. Maxima et minima des fonctions de deux variables indépendantes. — On dit que la fonction f(x, y) passe par un maximum pour æ—=a4a, y—=b quand /(a, b) est plus grand que f(x, y) pour toutes les,valeurs de + et de y dans le voisinage de & et de #. De même, on dit que (a. b) est un minimum pour x = 4, y — b, quand /(a. b) est plus petit que f(x, y) pour toutes les valeurs de x et de’? y dans le voisinage de & et de #. Ces définitions peuvent être énoncées comme 1l suit sous forme analytique :
Si, pour toutes les valeurs de L et de # numériquement inférieures à une petite quantité positive,
(A) fa +h, 6 +R) — f(a, 0) = un nombre négatif, f{a, 6) est une
valeur maximum de f(x, y).
Si .(B) f(a + 0 +R) — (a, 0) = un nombre positif. f(a. hs est une
valeur minimum de CZ y).
PAR TS ER Me VEN, OR RENE ter Os Lér CAR: ee à 4 , Cu co # 7e Len
». BBD CALCUL DIFFÉRENTIEL
Ces propositions peuvent être interprétées géométriquement eonme il suit : |
Un point P de la surface £= (ty)
est un point maximum quand 1lest « plus élevé » que lous les autres | points de la surface dans son voisinage, le plan de coordonnées XOY étant supposé horizontal (fig. 134).
De même, P’est un point minimum de la surface quand il est «plus-bas » que vous les autres points de la
Fie, 131. surface dans son voisi-
| nage. Il est évident,
par suite, que tous les plans verticaux passant par P coupent la sur-
face suivant des courbes telles que APB ou DPE dans la figure 131, chacune d’elles ayant une ordonnée maximum (= MP) en P.
De même, tous les plans verticaux passant par P” coupent la surface suivant des courbes telles que: BP'C ou FP'G, chacune d'elles ayant une ordonnée minimum 2(— NP”) en P”. De plus, un contour quelconque, tel que HIK, découpé sur là surface par un plan horizon- + {tal mené dans le voisinage immédiat de P, doit être une petite courbe fermée. De même, nous avons le contour LSRT près du point minimum P’. On a montré aux $S 81, 82, pp. 121, 122, qu'une condition . nécessaire pour qu'une fonction d’une variable passe par un maxi- | mum où par un minimum pour une valeur donnée de la variable est que sa dérivée première s’annule pour la valeur donnée de la variable.
De même, pour une fonction de deux variables indépendantes, une condition nécessaire pour que /(a, D) soit un maximum ou un minimum (c'est-à-dire une valeur critique) est que pour æ=4, UE |
ER
‘Démonstration. Evidemment les relations (A) et (5) doivent rester vraies quand Æ —0, c'est-à-dire que la différence
a+ h.6)— fa. 6)
est toujours négalive ou toujours positive pour toutes les valeurs de À suffisamment, petites numériquement. D’après les $$ 81, Fe une
fr D
s’'annule pour æ = 4, ou, ce qui rev ient au même, que DCE, 1) s'annule pour 4 — 4, y — 4.
De même les relations (A) et(B) doivent rester vraies quand 4 — 0,
condition nécessaire pour que ce résultat soit obtenu est que”
ce qui donne comme seconde condition nécessaire que fx, y) s'annule pour æ = 4, y =. | AE
Pour déterminer les conditions suffisantes pour que /(a, b) soit un
maximum où un minimum, il est nécessaire de recourir aux dérivées
d'ordre supérieur. L'établissement des conditions suffisantes pour
tous les cas est au-dessus de la portée de cet ouvrage (*). Néanmoins, la discussion suivante suffira pour tous les problèmes donnés dans ce livre.
En développant (a+, b + k) d’après le théorème de Taylor, (67), p. 280, où l’on remplace æ par à et y-par #, nous obtenons
| ÉD) = fa dh +) => fa, DEN LA
01 ds:
of of OT lÊ 2h St gt a) te
formule dans laquelle les dérivées partielles sont calculées pour 4—= 4, y —=6, et où R désigne la sommede tous les termes non écrits. Tous ces termes sont d’un degré supérieur au second en 2 et X.
Puisque 0 et es 0, d’après (C), p. 282, nous obtenons, dT 01 | après avoir transposé f(a, b),
Œ) fa+A b +7) —f{a. pe
(*) Voir le Cours d'analyse, t. I, de C. Jordan.
ÉNILIER Tr À
284 CALGUL DIFFÉRENTIEL x
Si /(a, b) est une valeur critique, l'expression du membre droit de (E) doit garder le même signe pour toutes les valeurs de 4 et de suffisamment petites en valeur numérique — le signe négatif pour une valeur maximum [voir (A), p. 281] et le signe positif pour une valeur minimum [voir (B), p. 281] — c'est-à-dire que /(a, 0) sera un maximum où un minimum suivant que le membre de droite de (E) sera négatif ou positif. Or, R est d’un degré supérieur au second en A et en *. Par suite, quand 4 et Æ diminuent en valeur numérique. il semble plausible de conclure que /a valeur numérique de R deviendra éventuellement et restera plus petite que la valeur numérique de la somme des trois termes du second degré figurant dans le membre droit de (E)(”). Done, les signe de ce membre droit (el, par suite, celui du membre gauche Ut ser…a le même que le signe de lexpression
(E) pe “+ 2h VE + UT. :
| OTdY dy
Mais, nous avons vu en Algèbre que l’expression du second degré :
LA + 2hkC + 7
a toujours le même signe que A (ou B) quand AB — (> 0. En appliquant ce ere (F),
da?’ ÿ” dd el nous voyons que (F), et, par suite, le membre de gauche de (E) éga-
d” d \ lement, a le même signe que PL ou 2) quand
ÔT dy pif [SNS 0 d1f dE 0Y
D'où la règle suivante pour trouver les valeurs maxima et minima d’une fonction f(x, y).
1" opération. Résoudre les équations simultanées
