ASYMPTOTES

-enfin les portions (ISF CLÉS sur OX et sur OY respec livement par æ, et y, nous obtenons

tY | = y : —= portion R'ERÉERCEPLEE sur OX ;

AE d is dre er | Yi Yi — portion interceptée sur OY.

(4 Ti . é j

+ Puisqu'une asymptote doit passer à une distance finie de l’origine, ‘

une de ces portions interceptées ou toutes les deux à la fois doivent tendre vers des valeurs finies comme limites quand le point de con- - tact (,, yi) s'éloigne à une distance infinie, Si

Dot à limite (&:) — 4 et limite (y) — UR

on trouve alors l'équation de l’asymptote en substituant les valeurs limites & et à dans l'équation

Si une de ces limites existe seulement, et que

imite( U) = m,

Sig DSC (44

nous avons alors une seule portion interceptée avec la pente donnée, -de sorte que l'équation de l’asymptote est

Es ! | y=mx +0; ou 4 e ed

EXEMPLE, — Trouver les asymptotes de l’hyperbole

ET RE En nm {.

a? b2 Solution. LRU EL 1 ) k | dt ‘ay a V a?

E , T° et 2 m = limite a)= 2 b Fe SPAIN a On a aussi 2 2 #4: | VERRE et + US re

‘par suite, ces portions interceptées sont nulles quand += y — «. Par conséquent, les PRIS passent par l’origine (voir figure 182) et leurs équations 1 sont -

y = 0 as 2 OT), O0 ‘AY EbX Réponse.

GRANVILLE, Calcul diff. et int. ” 19

Cette méthode est souvent trop compliquée pour être d'un usage

pratique. La méthode la plus commode pour déterminer les asymptotes aux courbes algébriques sera exposée dans le paragraphe suivant.

152. Méthode pour déterminer les asymptotes aux Sous algébriques. -— Soit une équation algébrique entre deux variables, A Fe fe, y)=0.

Si après avoir chassé les dénominateurs et fait disparaître les radicaux, cette équation est de degré », elle peut être ordonnée suivant les puissances décrorssantes de l'une des variables, soit y, sous la forme

GB) ay" + (Ge HO dé Her + fe 200).

Pour une valeur donnée de : æ, cette équation détermine en général n valeurs de y. |

1% cAs. Détermination des asymptotes à la courbe (B), paral-

lèles aux axes de coordonnées. — Cherchons d’abord les asym- ee. ptotes parallèles à OY. L’ équation d’une de ces asymptotes est de la forme à

et il doit y avoir deux points d° intersection avec (B) ayant des ordonnées infinies.

1° Supposons que & ne soit pas nul dans (B), c’est-à-dire que le terme en y" existe. Alors, pour une valeur finie quelconque de +, (B) donne valeurs de y, foutes finies. Par suite, toutes les lignes telles que (G) couperont (B) en des points ayant des ordonnées finies, et Le n'y aura aucune asymptote parallèle à OY.

2 Supposons ensuite 4 = Ü, mais 0 et € non nuls. Nous avons vu en algèbre que dans ce cas, une seule racine (=) de (B) est infinie pour toute valeur finie de æ, € est-à-dire que toute ligne arbitraire

(*) Pour se servir de ce paragraphe, D attnbions du lecteur est appelée sur le théorème d’Algébre-. suivant : ’ Étant donnèe une équation algébrique de degré n,

Ag + By 1 + CR 2 DynT 8 + 5... —0,

quand A tend vers zéro, une racine (valeur de y) tend vers l’æ .quand A et B tendent vers zéro, deux racines tendent vers l’ : quand À, B et C tendent vers zéro, trois racines tendent vers Lo , etc.

x. quelconque (C) coupe (B) en un point seulement ayant une ordonnée.

ou (D) À E fee POS

an eh ASY MPTOT ES 291

infinie. Si, de plus, + S ELEC

alors les deux premiers termes de (B) disparaissent et, par suite,

deux de ses racines sont infinies, c'est-à-dire que (D) et(B)se coupent en deux points ayant des ordonnées infinies. Par conséquent (D) est l'équation d'une asymptote à (B) qui est parallèle à OX.

3° Si a—4—c—= 0, il y a deux valeurs de æ qui rendent, dans (B), y infinie, savoir, celles qui satisfont à l'équation

(E) der +f=0.

En résolvant (E) par rapport à x, nous oblenons deux asymptotes

parallèles à OY et ainsi de suite, en général.

De même, en ordonnant. f(x, y) suivant les puissances décroissantes de æ, nous pouvons trouver les asymptotes parallèles à OX. D'où la règle suivante pour trouver # asymptotes parallèles aux axes de coordonnées.

Le opération. Egaler à séro le coefficient de la plus haute puissance de x dans l'équation. On obtient ainsi toutes les asymplotes parallèles à OX.

2e opération. Égaler à séro le coefficient de la Fe haute puissance de y dans l'équation. On AURÈRE ainst toutes les asymptotes parallèles à OY.

Nore. Naturellement, si un de ces coefficients ou tous les deux à la.

fois ne contiennent pas x (ou y) ils ne ERP $ ‘annuler et ul n à (4)

pas d'asymptote correspondante.

EXEMPLE 1. — Trouver les asymptotes à la courbe ax = y(x — a).

Solution. Ën ordonnant les termes suivant les puissances décroissantes de x, il vient à yx? — (ay +- a°)x + a°y = 0. 2 En égalant à 0 le coefficient de la plus haute puissance de x, nous obtenons

y —= 0 comme asymptote parallèle à OX. En fait, l’asymptote coïncide avec l’axe des x. En ordonnant les termes suivant les puissances décroissantes de y, il vient

Cv — aŸy — ax —0,

En égalant à zéro le coefficient de y, nous obtenons 7 — «a deux fois, ce qui

montre que AB (fig. 433) est une asymptote double farallèle à à OY. Si on exami-

thode expliquée ci-dessous, on verrait qu'iln”y en a pas. Par suite, y—0etr—=a sont les seules asymptotes de la courbe donnée.

asymptotes obliques aux axes Fig. 133. de coordonnées. — Étant donnée léquätion algébrique (EF) fr. =0 et la ligne droite (G) y=mae +,

on demande de déterminer » et # de telle sorte que la ligne (G) soit asymptote à la courbe (F).

Puisqu’une asymptote est la position limite d’une sécante lorsque

deux points d’intersection sur la même branche de la courbe sont

rejetés à une distance infinie, si nous éliminons : y entre (F) et (Gi); l'équation résultante en +, savoir | À

+ (H) Ce, max + k) = 0,

doit avoir deux racines infinies, ce qui exige que les coefficients des deux plus-hautes puissances de æ s’annulent. En égalant à zéro ces . coefficients, nous obtenons deux équations qui permettent de déterminer les valeurs cherchées de m» et de k. La substitution de ces valeurs dans (G&)-donne l’équation d’une asymptote. D'où la règle suivante” pour trouver les asymptotes obliques aux axes de coordonnées : . |

1 opération. Remplacer y par mx+k dans l'équation donnée et développer.

2* opération. Ordonner les termes suivant les puissances décroissantes de æ. 4

3e opération. Égaler à séro les coe ficients des deux plus hautes

puissances (*) de x et résoudre par rapport à m et à k.

(*) Si le terme contenant ær— l manque ou si la valeur de »m obtenue en égalant ARR le premier coefficient annule le second coefficient, en égalant à zéro les coefficients de x? et de x"—2, nous

obtenons deux équations qui permettent de Arouver les valeurs de m» et de k. Dans ce cas, nous (

nait cette courbe en ce qui concerne les asymptotes obliques aux axes, par la mé-

2° cas. Détermination des

Ex pe +1 1" " x -

A De Se RE 7 MU 0) PA

Cd :

ASYMPTOTES 293 4° opération. Substituer ces valeurs de m et de k dans y=mMmx + k, ce qui donne les asymptotes cherchées.

Exempce Il. — Examiner %° — 2ax°? — x° en ce qui concerne les asymptotes.

: ‘ ; N : . 1 Len” Solution. Puisque aucun des termes ne renferme à la fois x et y, il est évident quil n’y a pas d’asymptotes parallèles aux axes de coordonnées. Pour trouver les asymptotes obliques, éliminons y entre l'équation donnée et y —mx—+k. On obtient ainsi | ; (me + k} = Var? — x » et, en ordonnant les Lermes suivant les puissances décroissantes de x, il vient (+ me + (3m°k — 2a)x? + 3k°mr + k — 0.

En égalant à zéro les deux premiers coefficients, nous avons Pan d Am —0. et 3m°k — 2a — 0.

En résolvant, nous obtenons (9 Mm—= — A, Ê= Le En substituant dans y = mx + k, nous avons (An ap | B | 3 Fig. 134. . 1 . ; y qui est l'équation de l’asymptole AB (fig. 134). EXEMPLES Examiner les huit premières courbes au point de vue des asymptotes par la méthode du $ 150 et les suivantes par la méthode du $ 151 : PQ EEE AMP | Rép: y =0. \ RATES à 4 y 0 à 3. y—logzr. | 0 À a a.y= (14). VTT EE A, sl b. y—= Îg x: | ® n'étant un nombre entier impair 1 | quelconque, æ = 7Z. ER 6. y—e—1. RE NC) ED : 2 : 7.

7.ÿ—=6r+ar. ., y= 2x +2. 3 8. Montrer que la parabole n'a pas e se d’asymptotes. | Du INT ES + y+e—=0. a:

obtiendrons, en général, deux valeurs, de k pour chaque valeur de m, c’est-à-dire des paires z d’asymptotes obliques paralléles. De même, si le terme en 47? manque également, chaque valeur j : de m fournira trois asymptotes obliques parallèles, et ainsi de suite. : Li

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294 | CALCUL DIFFÉRENTIEL - 10. La cissoïde ÿ ==> Rép:æ — Dr.

2r — x re 11. y'a = y°x + 2. CET 42. pr? +1) — 2x? — 1). VE 13. y°(x — a) — 2? — a?. DE MRUES + (x + a).

14. LY° = AT =). LASER 0 15. yCr? — 3bt + 207) — 23 — Sax? + a. Lt, 2%, ya 30. AG y ce ABC DE Dr y (& —b} y ) 17. Le folium RP Say V. y+z+a—=0.