ASYMPTOTES
opération. Si la valeur limite de la sous-tangente polaire est finie, il y à une asymptote correspondante à cette distance de l'ortgine el parallèle au rayon vecteur mené par le point de contact. Quand cette lèmite est positive, l'asymptote est à droite de l'origine, %
et quand elle est négative, l'asymptote est à gauche, quand on regarde dans la direction du rayon vecteur infint.
EXEMPLES 4. Examiner la spirale hyperbolique 2 — Lau point de vue des asymptotes (fig. 136).
Solution. Quand 0— 0, c = +.
On a également + ARR, TRRT - Par suite, 2 2\ Ç 4 sous-tangente — se ee “ —=— 4; LAPS Fi 126 / < de 0? a sh ESS ‘ nil . — — a = quantité finie.
re do ER Il arrive dans ce cas que fa sous-tangente est la même pour toutes les valeurs LS
de 9. La courbe a, par conséquent, une asymptoté BC parallèle à l’axe polaire OA gt à une distance a au-dessus de lui.
| = Examiner les courbes suivantes au point de vue des asymptotes : ie 2. p cos 0 — a cos 26.
Réponse. IL y a une asymptote RARES CRE à laxe polaire et à une dis- “2 tance a à gauche de l’origine.
d:-p—u tg0:
Réponse. Il y a deux asymptotes perpendiculaires à l'axe polaire et à une distance a de chaque côté de l'origine.
Lun 4. Le lituus c02 —g, Rép. L’axe polaire.
5. p— a sec 96, È Rép. Il y a quatre as ymptotes à la même distance © de l’origine et inclinées : ne à 45° sur l'axe polaire. 2 2202 6. (o—a)sin8— b. ske ErpES Fc ‘2 Rép. Il y à une asymptlole parallèle à l’axe polaire à la distance b au-dessus - 53 de lui. L à o 2 7. 6 — a(sec 20 + tg 20). | 3 “2 Rép. Deux asymptotes parallèles à0— T, à la distance a de chaque côté de de. l'origine. 4 El 8. Montrer que l’axe otre ED asymptote aux deux branches de la courbe Bt sin 0 — a?cos 26. FES ; = 9. La parabole £ — 2 +. NE ep El D'424 cute asymptote. ASE re A 1 —-cos 0 À É . 24 “ F DS 7
LA ci APldiolt, POP D CNE ET ES ART PIE ON Rd a Re ire rat % PERS ENS SMS Re ere A RE PA D DA NT
296 GALGUL DIFFÉRENTIEL 154. Points singuliers. — Soit une courbe dont l'équation est f(e,y)= 0:
Tout point de la courbe pour lequel
D el fees
dd Ô y
est appelé un point sinqulier. Tous les autres points sont'appelés des points ordinaires. Puisque d’après (67 a), p. 230, nous avons
: df
dy = da dx D of.
il est évident qu’en un point singulier la direction de la courbe (ou de Déétealee Te 0 la tangente) est indéterminée, car la pente prend la forme mé Dans le
prochain paragraphe nous montrerons comment on peut trouver les tangentes en ces points.
155. Détermination de la tangente à une courbe algébrique en un point donné par simple examen, — Si nous transformons l'équation donnée en prenant de nouveaux axes de coordonnées parallèles aux premiers et ayant pour origine le pot en question de la courbe, nous savons que la nouvelle équation n'aura pas de terme
constant. Par suite, on peut l’écrire sous la forme
(A) 4 L; y) re à M 0 + by + (OT: 2e dxy pe ey*) + a + qi y + hay +) +. = 0.
L’équation d'une langente à la courbe au point donné (maintenant
l origine) est ; AUTEURS NE eue % (B) Spat een d’après (4), p. 85.
Soit y—mx l'équation dune ligne passant par l'origine et un second point P du lieu de (A). Quand P tend vers O en se déplaçant le long de la courbe, nous avons, d’après (B),
d' } limit RU (C) unité ms
