POINTS SINGULIERS À

d’osculation. En égalant à zéro les termes de moindre degré (second), nous obtenons y?—0, ce qui montre que les deux tangentes communes coïncident avec OX.

Exewpse Il. — Examiner y? — x? en ce qui concerne les points singuliers Gig. LA).

Solution. Ici 1 Y)= y 20, De ee D dire (L dE. : dy

ce qui montre que (0, 0) est un point singulier. Au point (0, 0), nous avons également D'f SUR Les df 19

de? dEdY ù

d’où nb LME = 0,

dTÔY dt? dy?

Fig. 141.

Cependant, l’origine n’est pas un point d’osculation, car si nous résolvons l'équation donnée par rapport à y, nous obtenons

\ 1 | ÿ—= + xt,

ce qui montre que la courbe s'étend à droite de OY seulement, car des valeurs négatives de + rendent y imaginaire.

L'origine est, par conséquent, un point de rebroussement, et puisque.les branches se trouvent de chaque côté de la tangente commune, c’est un point

. de rebroussement de première espfce. En égalant à zéro Les termes de moindre

degré (second), nous obtenons y? —0, ce qui montre que les deux tangentes communes coïncident avec OX.

ExempLe II. — Examiner (y — x?) = xÿ en ce qui concerne les points singuliers.

Solution. En procédant comme dans le dernier exemple, nous trouvons un point de rebroussement au point (0, 0); les tangentes communes aux deux branches coïncident avec OX. En résolvant par rapport à y, il vient

Fee

Yy=@ EX

Si nous donnons à æ une valeur quelconque entre 0 et 1, y prend deux valeurs positives différentes, ce qui Fig. 142. montre que dans le voisinage de l’origine les deux

branches sont au-dessus dé la tangente commune. Par suite, le point singulier

(0, 0) est un point de rebronssement de seconde espèce.