CAT AS T9 NAN SE
42. Montrer que l’origine est un point isolé de la courbe ay? — 5 + bx? —0 quand a et b ont le même signe, et un nœud Les ils ont des signes opposés.
43. Montrer que la courbe æ*—+ 2ax°y — ay —0 a un point triple à l’origine et que les pentes des tangentes sont 0, +2 et — ÿ/2; se
2 2 D: | PARTS à $ 14. Montrer que les points d'intersection de la courbe {© 5 hf ep 2 .\a DJS LÉ avec les axes sont des points de rebroussement de première espèce. # 45. Montrer qu'il n’y a aucune courbe du second ou du troisième degré end LS et y ayant un point de rebroussement de seconde espèce. < LE 1 À ; 416. Montrer que y —e@e *# àun point d'arrêt à l'origine. FUeS
47, Montrer que y = #x arc gt a un point anguleux à l’origine, les pentes 7 Û ;
CH APITRE XX
APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
160. Tangente et plan normal à une courbe gauche ps les équations sont données sous forme paramétrique. — Le lecteur 1 es{Méjà familiarisé avec la représentation paramétrique d’une courbe plane. Pour étendre cette notion aux courbes dans l’espace, supposons que les coordonnées d’un point quelconque P(æ, y, 2) d’une courbe gauche (#9.
146) soient données comme fonction d’une quatrième variable que nous désignerons par 4; ainsi
AS D y 0
L’élimination du paramètre 4 entre ces équations deux à deux nous donnera les équations des cylindres de projection de la courbe sur les plans de coordonnées. |
Soit le point P(æ, y, z) correspondant à la valeur { du paramètre et le point P(x+ Ax, y+Ay, 2+ Az) correspondant à la valeur t—+- Al, Ax,Ay, Az étant les accroissements de æ, y, z dus à lac-
g Fig. 146.
analytique à trois dimensions nous savons que les cosinus directeurs de la sécante (diagonale) PP" sont proportionnels à. * |
Li AÂ%, AY, Az;
ou, en divisant PRE At et en désignant les angles de direction de la
sécante par a’, 8’, y’,
RD ES ed RE
nv At At De Maïnicnant, faisons tendre P’ vers P le long de la courbe. Alors A4 DR. - et par suite A, Ay, Az tendront vers zéro comme limite, la sécante
croissement A trouvés d’après les équations (A). D’après la géométrie
APPLICATIONS À LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE 305
pp tendra vers la tangente à la courbe au point P comme position ‘limite et nous aurons COS &.: COS G- cosy 2 due de.
dt dt dt
relation dans laquelle , 8, y sont les.angles de direction de la tangente (ou de la courbe) au it P. Be suite, les RO de la tangente à la courbe
0, 24) 20 au point (x, y, £) sont données par se :
X — Xi Y d'Éber ER or” (69) FE D dt dt dt
| et l'équation du plan normal, c'est-à-dire du plan passant par (æ, y, =) * DÉRAUOAMAERENE à la tangente est
