BR 2 VO
2 Les. équations de la courbe C.
Alors, l'équation (A) doit être satisfaite identiquement par ces valeurs. et puisque la différentielle totale de (A) quand x, y, z sont définies -par (B) doit s’annuler, nous avons
dF dx dF dy .dF dz
é PRE acts el), d’ : 2), 22. p ” ÉPR DATE ge dt ni Gp
Cette équation: montre que la tangente à : ©, dont les cosinus direc-
. téurs sont proportionnels à à
ne : es 4, dz £ ‘ SAS de nn | dt’ est perpendiculaire (*) à une ligne dont les cosinus directeurs sont
déterminés par les rapports A nr 0 dF
de dy DO
et puisque € est une courbe quelconque de la surface passant par P, il s'ensuit immédiatement que si nous remplaçons le point P (x, y, 5) RC Dar PA CUS rs 21), toutes les tangentes à Ia surface en P; sont dans
| le “pla C7)
© D'après la géométrie analytique dans l’espace, nous savons que si deux lignes ayant pour -cosinus directeurs cos #1, COS 41, COS y1 pt COS az, COS fe, COS 2 sont perpendiculaires, on a la relation COS x1 COS 2 + COS Bi COS 82 + cos y1 COS * eh Les cosinus ‘directeurs de là orale au plan (71) sont proportionnels à dFi. d Fi dFs.
LS rs
da. : dYyi 21
tangentes dont les cosinus directeurs:sont cos 4; COS B, COS» soient perpendiculaires à la normale, - «’est-à-dire pour que les tangentes se trouvent dans le. plan.
Par suite, nous voyons d'aprés la géométrie analytique que (C) est la condition pour que les
AM CS IT Si ATEN
(74) (Ex) + ee a E—#)= 00)
formule permettant de trouver l'équation d'un plan tangent en (æ,, y 2) à une surface dont l'équation est donnée sous la forme
| Kg y #) 0:
Dans le cas où l’équation de la surface est donnée sous la forme
gs — f(x, y), soit
(D) Fx, y, 2)= f(x, y)—2=0, alors, pe of dE of de 0x 0€ dx OY: ON IOY
Si nous évaluons ces relations pour le point GAS 2) a que nous
substituions dans (74), nous obtenons
dz 79 CÉRTR ET OC
formule permettant de trouver l'équation d'un plan tangent en Se Yi» 1) à une surface dont l’équation est donnée sous la forme
fr y).
Au S 126, p: 298, nous avons trouvé (55) la différentielle totale d’une fonction
u (ou 2) de æ el de 1 $ savoir
ÔZ — dy: .dT dy ÿ
Nous avons maintenant un moyen d'interpréter ce résultat géométriquement,
OZ | SC TAr ARS 1) —(z — = 0 x) + (y) (2)
car le plan tangent à la surface z = f(x, y) en (x, y, z) est d’après (72),
(E) ARE = TX 2)+° 0)
X, Y, Z désignant les coordonnées variables en un point quelconque du plan
Si nous substituons X = x + dx et Y —y+ dy dans (F), nous obtenons
(G) RE PL PR : AU MAD ARUNRE En comparant (£) et (G), nous obtenons (H) Ur 7% (*) Pour s’accorder avec les notations déjà employées, dFi 1, dF, - 4 DFi j | 024 Ë dæ1 L dy1 d21 dT1
désignent les valeurs des dérivées partielles au point (&1, Ya, 24).
dza
AR TN de 0 US CE En DTA UR | | "NE APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE 309. ss 56 | 3 Théorème. — La différentielle totale d'une fonction f(x, y) correspondant aux x accroissements dx et dy est égale à l'accroissement correspondant de la coordonnée z 4 du plan tangent à la surface z — f(x, y). re 6 se Ainsi dans la figure 148, PP’ est Le plan tangent à la surface PQ en P(x, y, 2). 1 P(XY,2) é Ë VAI SN vé
Ni 5 D 2
Fig. 148.
Soit ob du ets CD—dy;: ë alors dz= 2 — = DP'— DE — EP. é : 1462, Normale à une surface. — La normale à une surface en
un point donné est la ligne passant par ce point perpendiculairement au plan tangent à la surface en ce point.
Les cosinus directeurs d’une ligne quelconque perpendiculaire au plan tangent (74) sont proportionnels à | |
No 20, DA dY1 BRAS | | : OP. eraret- SERA ne NE Cat lot À 73 es A A De fe de dx, dy; dZ,
sont les équations de la normale (*) à la surface (x, y, 2) =0 au
point (di, Yis L1). : De même, d’après (72),
(*) Voir la seconde note de la page 307.
