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RER TT de limite | 44? arc {g Jus RE TR Re Lire b=+e | du | l 9 27ra Rép
Le 4 Tlérprétns ce résullat géométriquement.
Le prepaique de la fonction est la cubique d’Agnési, c'est-à-dire le lieu de
k ne ee 84° Bree cu à a 2? + 4a?
# Er STE en L . ; É # *«. je £ 1 b 3 ; - Ge 44 | 3 dar 58 7 Aire OPOE — Bar ar — 4a? arc {g de SSSR | Era ; Jo 244 24 Re: à Lorsque l'ordonnée Qb se déplace indéfiniment vers la droite, la ‘quantité Per s A ë PURE Re Fà b : AR Rs 4a? arc tg CA est toujours finie, et tn da Re: limite | 405 arc 2 Dee Tea F 24 - Re 7#® quantité qui est également finie, É Ne ae En pareils eas, nous appelons le résul- LEE Ne rE Fig de RAR tat l’aire limitée par la courbe, l’ordon- FRANS £ . née OP, ef OX, quoique à strictement | parier 6 cette aire ne soit pas complètement limitée. té | ee dx ; | Evewpue lt. = “frouver JE + à APE | ie JO LA Solution. + 00 dv =: limite dx Er He (log b) æ. b=+e x b = + © Lars es L 4 1 G A0 FT 3 : :
La limite de log b, quand b croît sans limite, n'existe pas: par suite, l'intégrale n'a pas de signification dans ce cas.
183. Cas où y —+p(x) est discontinue. — Considérons maintenant les cas où la fonction à intégrer est discontinue pour des valeurs isolées de la variable comprises dans les limites d'intégration.
Examinons d’abord le cas où la fonction à intégrer est continue pour toutes les valeurs de æ comprises entre les limites & et #, excepté pour & —4. i |
Si a < b et e positif, nous utilisons la définition
a) fr = ft or.
et quand c(æ) est continue excepté pour +=, nous utilisons la définition | |
(B) IRON nr 072
pourvu que les limites soient des quantités définies.
ee a da ExEmeLE |. — Vlrouver ik D = ire e/ 0 d
Ver
devient infini pour x = 4.
Par conséquent, d’après (B), x
EUR AT timitenf pcs LE Tate Sete CM No ue et Re ND CR NRA He Eee | a 0
Solution. Ici son
AE S £ À £ TT ; | , == mile l'arc sind ie \ le al nAeeee Rép. .
EST a 9 | | 1 : e dx | :
EXEMPLE Il. — Trouver fe , VS À o +
* N ® { . . . . y Solution. Ici — devient infini pour x —0. :
Par conséquent, d’après (A),
Dee om: SN | PRES POSE NE SRE re VERT ARTE
Dans ce cas, il n'y a pas de limite, et par suite l'intégrale n'existe pas.
Si e est compris entre a et 4 et que la fonction (x) soit continue,
excepté pour æ— €, alors < et <’ étant des nombres positifs, l'intégrale entre a et b est définie par
De (0) fé (r)d — Mile Fr de + imite [7 «(nées
“À pourvu que chaque limite prise séparément soit une quantité définie.
ExempLe 1. — Trouver ch __?xdz L
ET Ee 0 (° y
TE Ici, la fonction à intégrer devient infinie pour æ — a, c'est-à-dire
pour une valeur de « comprise entre les limites d'intégration 0 et 34. Par suite, la définition o ci-dessus doit être PAPE: à Ainsi,
gr rrA == 0" = RU ' : 0 : a 0 . a -F.€ 7 F vie rat): (x? — a , (x? — a?
| 1la — 113 limite 9 ENrS D limite 2 93 4 = 60 [Cr — 2) lo + eo [C2 — 4) Ja+e
La
À = ne [25 (ae) — a+ ie dr 13ÿ/ Sa? —3ÿ(a+e}— |
De 2 x
— 34° + Gas — 9a3. | Rép.
Pour interpréter géométriquément ce résultat, construisons le graphique, c’est-à-dire le lieu de
QT
et notons que æ — à est une asymptote
G x. (Ag: 203).
à Aire OPE — 1 ARR CE
Ne 2 — a?)3 Re | Fig. 203. j — 3 VCa — :} - €) qu Ar
Lorsque PE se déplace à droite vers l’asymptote, c’est-à-dire quand e tend vers Zéro, 2 3V(a — e}? — = a? + 3a3
. est toujours une quantité finie, et
” ie [95 Dai + dat] — 3 Tr ‘ 3 :
est une quantité également finie. Comme dans l exemple 2 D, 31, 34° représente l'aire limitée par OP, l’asymptote et OX. De même,
4% ATP ORG Sa dnioe UR SUa De) — 0 a + €' = | Ê
137% , CALCUL INTÉGRAL | Fr Hd
-est toujours une quantité finie quand QE’ se déplace à: gauche vers lFasymptote -
1 L4 r = r ’ . F5 è “re 3 et quand £’ tend vers zéro, le résultat 6a* est également déterminé! Par suite, | de à | | | 6a est appelé l'aire comprise entre QR, l'asymptote, Fordonnée x — 3a:el OX. 2 4
En additionnant ces résultats, nous obtenons 94%, qui représente Paire à Jroie de OY comprise entre la courbe, lordonnée æ — Ja et OX.
Exewree Il, — Trouver sh = dx =: Se 2:
0 (x — a} | RRÉRECE N
Solution. Cette fonction devient Gbalothont infinie entre les lades d’ intégra-. tion (fig. 204).
"4 Par suite, d’après (C),
GA + Ut 7 imite. fr dr limite e dæ + DR © our FAT à À D'o cR ) E NEREE GYEEs Fee — limite ee L ES - limite He re é +0 Late el rules 3
limite / 4 À DE limite ai Se ue À ; :
EN) € 7. Bat z «a RTE | 2%, F3
Dans ce cas les limites n'existent pas et l'intégrale | n’a pas de signification.
Si nous construisons le graphique de célle fonction et que nous notions les limites, les choses
Fe apparaissent très semblables à celles de l'exemple. 5 Le précédent. Cependant, la portion ombrée ne peut ca pas à proprement parler être considérée comme 7. une aire et le signe d’ intégration ma aucune signification dans ce cas. Il apparait de suite, si nous appliquons notre formule d'intégration ‘sans autre investigation, qu “il est important d'examiner si la fonction donnée devient infinie ou non dans les limites d'intégration. Ainsi A PPS 00. . A ES | Li : = Fo en z — 4 lo a É | = À résultat qui est absurde au point de vue des discussions qui précèdent. | EXEMPLES LES RME NS Ê 500 5e ARE À Ÿ {RE F0 | 22 1. [ 4 RS TETE + ca d SN Ter À Lo a+ x? Ja g:-@ 0x2 ab >: «2 à nn a Je d = © a — ‘4 9 ÉS 2 dx R. 5 de d. er J / 1 “E Var? LL il 4 7-1 11 é * +'o Hp CLS = 3 Le ESS re Te Ce 1 T° 3 e At) 2
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