CHAPITRE XXV ; INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES

184. Introduction. — Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des fonctions rationnelles entières(*). Si le degré du numérateur est égal ou supérieur à celui du dénominateur, la fraction peut être ramenée à un nombre fractionnaire en divisant le numérateur par le dénominateur. Par exemple,

; N/ ns 2 HOT PTE RAA ENT DT HS 2 Stone D ke D 2 T2 | L 2 Op ELA

Le dernier terme est une fraction réduite à sa plus simple expression dont le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Il apparait, sans hésitation, que les autres termes sont immédiatement intégrables et, par suite, nous n’avons besoin de considérer que la fraction. |

» Pour intégrer une expression différentielle contenant une fraction de cette sorte, 1l est souvent nécessaire de la décomposer en fractions partielles plus simples, c’est-à-dire de la remplacer par une somme algébrique de fractions ayant une forme telle que nous puissions. compléter l'intégration. On montre en algèbre que cette opération est toujours possible quand le dénominateur peut être décomposé en facteurs premiers réels. |

185. 1° cas. — Les facteurs des dénominateurs sont tous du premer degré et non répétés.

Achacun des facteurs linéaires non répétés, tels que æ — a, correspond une fraction partielle de la forme