SUR

[En substituant la-valeur de 2 en fonction de æ, savoir z = x 3]

La forme générale de l'expression irrationnelle traitée ici est dès lors

ÿ. RC )dx,

dans laquelle R désigne une fonction rationnelle de æ”".

191. Différentielles contenant seulement des puissances fractionnaires de a—+bx. — Une expression de cette sorte peut être transformée en une forme rationnelle au moyen de la substitution

a+bx= 2",

dans laquelle n est le plus petit commun dénominateur des exposants fractionnaires de l'expression a + bx.

Carr e2rt EUR radical FRdyens être exprimés rationnellement en fonetion de £ KA

y dx ExEMPLE. — Trouver pe —— |

A+a) +A+zx) Solution. Posons A+ x — 2; a LE ÿ alors da = %dz; AE Tr) 7 et (1 EL). E

Ë dx Didiues dz | ss Se ae (1 + no EC +aÿ = Daretgz + = are le( + +6

quand on substitue la valeur de z en fonction de x.

L'intégrale générale traitée 1c1 a, dès lors, la forme

Rx. (a + by" |dx,

dans laquelle R désigne une fonction rationnelle.

ÿ : , ‘à & “4 “+ ke Es * INTÉGRATION PAR RATIONALISATION 389 192. Changement de limites correspondant à un changement D: de variable. — Quand on intègre par substitution d’une nouvelle: variable, il est quelquefois laborieux de traduire le résultat en ne: fonction de la variable primitive. Quand on intègre entre des limites, F on peut éviter de revenir à la variable primitive en changeant les « = P ù Let - limites de façon qu’elles correspondent à la nouvelle variable (”). ST: Nous allons maintenant illustrer ce procédé par un exemple. : 1 “ Je S 15% 16 4 Exewpce. — Calculer [ de. se ‘ | #0 PE 0 UE r F s ‘ A+ x? 4 Solution. Posons Men. ne Pour changer les limites, nous observons que “4 quand © — 0, D = 8 et quand ; (tendGoire 2 | | #0 ( As er:

16 4 e DA 317 2 $ "0 ÿÉ C2 de el Rigites 1 Le 18 0 = vd 7 0 AT , De: - 1 + x? 2 G -P2 2 2 73 2 2620 =4 f de —4 f de+4 f fe = 4 + arte | 10 | 0 0 | o 1:27? L 3 0 71 —°+#4arctg 2. Réponse. : di:

EXEMPLES | 4 HR NL DE ES TRE SN à bo AT CAS TR x LETPS ——= À" tt — =log(rt +1)+cC. 3 f RU 308 ; E 3 3 EN ; ) Eat 9.3 ‘4 a æ'+ 1 K 52 “4 SN EL | 6 2 5% CRT) : 3. 3 - "11 2. EE arret) +C. 4, À —T———2aretg 5. -: 20 # RS 0 (2+x)V1+x Le 624: | A 2 CDS Ne :

D 9 log x — 24 log (#1? +4) + C.

rs. x pr m6 mt | | = 3 “4, | 1 £ dx dr, 8 8 9 A æS That 4 4 rs (; 6. ra HR 0E, promis 214 0) ts —x$ | æs +1 (*) La relation entre l’ancienne et la nouvelle variable devra être telle qu’à chaque valeur de lune corresponde une valeur finie de l’autre et une seulement. Quand l’une est donnée comme fonction à valeurs multiples de l’autre, on doit faire attention de choisir les valeurs qui conviennent.

. 6 5 2 La À De : . Res : TN UE:

% 7. jee sf RAT op ù ja 9 Vx — Va? 5 “4 L9+e me À 0 8. / POOUE a een etats 10. A __udy ne #4 Jo A+ÿx À V2+4y | s 3 9. f” 2 de g, #3. pee =) en) Se 2e DE LE 24 Le Le | AT DR. à CHSDE v3/ Î Î 1 4 2 b] de DE PR RONA ER | nn es PE PA Ve DR EiuLe A .: > L,: 2° Re ne ne 0 :

Ë Dites FER #3 : — REARE 1 13. F da : — 10 HD? ATTE À L | . | ù BE DER GE DÉTENTE SSP 14. 'é xdx ; __ 2(Q2a + bx) PS | 4 (a+ bx)? Evate ë Ve 0 15 6 x?dx FéRCENREA ass NDS | TRES (4x +1)? A9(4r +12 re EUR AR.

Me 46. Ja va = 30 + +0 HÉATNS 2 ur È 47. ES FEDREE T —- a S r F : 4 Ha 2 PE De SE SLR 18. era a Vz L4)+c. ES RU p—— Er 1x —9yx — HVaarets = LES COS EIRE F0 20, PJ Fast D 0 :

k dæ = : : : 125 22, Î a 3! +0! ++ +20 afro. ei RAP — (+41)

4193. Différentielles ne contenant pas de radical autre que V a +bx+x x). — Une expression de cette forme peut ètre trans- Se. formée en une forme rationnelle au moyen de Ja substitution De ea

Va+bx+ 52 ARTE = FC es

() Sile Mi est de la forme Vn +p n + pa+q, g>0, on peut Décrire V vs Hthe+e. Cette forme est celle du paragraphe 193 quand on fait «=, b=?. SP A: q- |

: ré

RU ne INTÉGRATION PAR RATIONALISATION | 391 2°5)

car en à élevant au carré et en résolvant par rapport à æ, mous avons | RES x PE A E SE ù +) be * see | ï - 3 0 2 2 L 4 À à He : alors dx — Us PUS he :

Re TE FR T2) ne F' The et este) En ———, | fe 2 > KE.

EC. Ç Va + br +a(= 2 — x) — s'Hbsta “ à … 2740 B< LL | b dE 22 Z Ù £

7 ” “ s ’ ni *

| $ = Par suite à ER nn et Va ba a sont des expressions tonte Le mr. quand elles sont SPEUREES en fonction de 2. | Se

nues Trouver f a C dn VAT + & + 22.

Solution. Posons VA+e+a=z—r.

… En élevant au carré et en résolvant par rapport à #, il vient SPRL: |

CHERS 2z +1 Par | (2:+1) Re 2 +z+i < 1: ÈTEESSS

27 + 2 + 1)dz

(2z +1} nr Az ifaige = [= log [(2: + 1)e ‘+21 2: +1 g | )e]

9z +1 dx V1 + Pre 9z +1

= log |(2x +1 +241 1+x+æl,

quand on substitue la VACRR de zen fonction de x.

(AE

| 194. Différentielles ne contenant pas de radical autre que ï V aLbx x (©). — Une telle expression peut être transformée en une forme rationnelle au moyen de la substitution

= D Va be r— (V(æ ra) — 2) —= (a: — 3) [ou = —x)z|, | expression dans quel æ— 4 eltê—x sont des facteurs réels (9e CA+bR—- a. à Se "Cer si Vas D bd — = (: Re es — (r—:)s, en élevant

TR 05 -Si le radical est de la foie Va+pr= qe, qg >0, on peut M l'écrire QE P y x. Cette: forme est celle du paragraphe 494, quand on fait at, b=— q

| (*) Si les (éieuré de a+bzx—x? sont imaginaires, Va+ < re est imaginaire pour toutes les valeurs de x, car si l’un des facteurs est x —m+in, l’autre doit être —(x— m—in) et par suite

se e (=>: bar 2 = (2 — -m+in)(e—m= in)=—[(x - mP+n?],

| expression qui est négative pour toutes les valeurs de æ, Nous considèrerons seulement le cas où les : Ytactéurs sont rébls,

2 2 Des C4 ñ / A ue alors. (ir == RENE +1 | ACT) et Va+bx— = are nr 113 | A il Par suite æ, dx et Va + bæ — x? sont des expressions rationnelles e | quand elles sont exprimées en fonction de 5... : | | += ExempLe, Trouver fe |

Fier FE Solution. Puisque 2hr—T—(r né De — %), posons V@&+1D@ — %) æ) — (x + 1).

En élevant au carré et en résolvant par rapport à æ, il vient

2241 10 ee it — 6747 RS PO UNE | Par suite, HE pa - i | | S ( :

S rs 37 : % et 2 ue | 41)71— . = pe # Va+r—2[=(x + 1x] ir da à Ve LR EN OISE 2/ er —=—9arctgz+cC * (A Vo 5 4 € NAS 2 e.

VER ct :

arc VE quand on substitue la valeur de z en fonction de x. 6 MARNE: RE M EXEMPLES | 5 HORS 1: dx SEA be ir? D x+2+r—Va, Ke Na ir a 2 | Sas rom ne A T0 Re” ;