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‘4 | 3 200. Formules de réduction des différentielles binomes. — : On a montré au $ 195, p. 393, que toute différentielle binome peut : être ramenée à la forme s J a"(a + bx"} dx,

| dans laquelle » est un nombre rationnel, #7 et #, entiers, et n, positif. 5 Nous avons également appris au $ 196, p. 394, à intégrer une 1 expression différentielle de cette forme dans certains cas. En général, on peut intégrer par parties une telle expression, en utilisant la formule (A), p. 402. Cependant, l'application de la méthode d’antégration par parthes à chaque exemple est une opération longue et pénible. Quand la différentielle binome ne peut pas être intégrée rapidement par une des méthodes étudiées jusqu'ici, il est d'usage d'employer des formules de réduction bles d’après la méthode gs intégration par parties.

Au moyen de ces formules de réduction, la différentielle donnée est. exprimée comme la somme de deux termes, dont l’un n’est pas affecté

À du signe d'intégration et dont l’autre est une intégrale de la même a: % “ . " que RUES . x . r ; ; forme que l’expression primitive, mais plus facile à intégrer. Les

quatre principales formules de réduction sont les suiv AIRE

xM—n+ I(a ere bxr)r +! 1

(np + m+1)b à

RE Pets

(4) 7. xM(a +-bxi)dx —

à :FORMULES DE RÉDUCTION AT 0 D Re S +{ | 210 (B) Î xM(a —- b x#)Pd X — x (a+ bx°}? : \ NES sas 2 Apr un 1 | 100 i Se - np m DD = 1 2 DU RP TE) ma 4 br) 1dx, RSR | | el: Sa ; 1 000 Le 4 DEL.

S | ym+i p+i “21 F (GC): fee+ Net he Cat ee D:

: [n'est pas nécessaire que le lecteur se rappelle ces formules par 4 cœur, mais il doit savoir le résultat donné par chacune d’elles et Les re cas dans lesquels elles se trouvent en défaut. Ainsi: ;. La formule (A) diminue l'exposant m de n unités; elle est en défaut e quand np+m+1—=0. x20 ÿ 3 k V4 CP) ; La formule (B) diminue p de 1; elle est en défaut quand Le. np Em L— 0: RS 1% La formule(G) accrott m de n; elle est en défaut quand m+1=—0. 1 La formule (D) accroît p de 1 ; elle est en défaut quand p+1=0. De . I. Établissement de la formule (A). — La formule d'intégration = 3 ‘par parties est. | ‘e MS € de Re (5 ; Jude UE — fou | (A), p. 402.

| Nous pouvons appliquer cette formule à l'intégration de 4 SES eue | À: x"(@ + 0x") dx, en posant Ua" nt! (5) et do =(a+bx'}x" "dx; alors L ; “ a mu by \?> du=(m—n+tlx" "dx. et Xe 2 . un. | . nb(p+1) Pos, C5 Pour intègrer du d’après (4), il est nécessaire que x en dehors de la parenthèse ait l’exposant . —1. En retranchant n — 1 de m, il reste m— n +1 pour l’exposant de æ dans u.

D = 08 RO CALOUL INTÉGRAL TÉS PTE TIRER

5 En substituant és (A); il vient Lo ARR RTE 4 B æ"(a hr js ea +Es s 2 | “4 4 (B) fe a+ Pa nbp+D TOR 4 | UMR Pont ba) dr. À D np+ DJ CT Pr jrcre-frreee à | ra ne is 077 | É.

E En substituant ces et re (B), : nous rh . ee s : 4 RE US AA et M FEES np HA). ES É EN RON — rte f he ASTRA np D db a es HORS m—n+i = RASE LOST Re a"(a + ba dx.

.n(p +1) es :

En transposant le dernier terme dans le premier membre, en rédui-

sant et en résolvant par rapport à 1 za + ba ‘Ydx, nous obtenons

ARE Page m—n+i babe | D RCA xM(a + bx!)Pdx Lanta + bxr)p+t - É (a) | C ) So b(np + m+1) ANT “Th | a(m—n+1A) LATE ER En.

— = | xm—n CARE PIX B(RpaEme th C à ) 70

ie voit par la formule (A) que l'intégration de a+ be Yd dépend de Fintégration d’une autre tonte de la même forme

dans laquelle #2 est remplacé par #2 — n. Par des applications répétées de la formule (A), m peut être diminué d’un multiple quelconque de x. Quand np + m +1 —0, la formule (A) est évidemment en défaut: #4] (le dénominateur devenant nul. Mais Le ce cas # m nt 1 pe 0: