CHAPITRE XXVII

203. Introduction. — Jusqu'ici nous avons défini l'intégration comme l'inverse de la différentiation. Dans un grand nombre d'applications du caleul intégral, 1l est cependant préférable de définir l'intégration comme une opération de sommation. En eflet, le calcul intégral à été inventé dans le but de calculer l'aire limitée par des courbes en supposant que l'aire donnée est divisée en un: « nombre: infini de parties infiniment petites, appelées é/éments, la somme de tous ces éléments étant l'aire cherchée ». Historiquement, le signe d'intégration est simplement VS long, employé par d'anciens auteurs pour indiquer « somme ».

Cette nouvelle définition, qui sera développée dans le paragraphe suivant, est d’une importance fondamentale et il est essentiel que le lecteur comprenne complètement sa signification afin de pouvoir appliquer le calcul intégral à des problèmes pratiques.

204. Théorème fondamental du calcul intégral, — On a montré au $ 174, p. 363, que si &(æ) est la dérivée de f(x), la valeur de l'inté-.

orale définie

A fade fofo

donne l'aire limitée par la courbe y = (x), l'axe des + et les ordonnées élevées en x = a et x =. |

À Fig, 205, Ù Û à de É Faisons maintenant la construction

suivante relativement à cette aire ({ig. 205). Divisons l'intervalle de | æ = à à æ — 0 en uninombre quelconque’ # de sous-intervalles égaux, hi élevons des ordonnées aux points de division et complétons les rectangles en menant des lignes. horizontales par les extrémités des

k dj Jus AUS RATE

- ordonnées, comme dans la figure 205. IL est clair que la somme des . aires de ces » rectangles (la surface ombrée) est une valeur appro- . chée de laire en question, Il est encore évident que la lite de la . somme des aires de ces rectangles quand leur nombre » croit indéfiniment, est égale à l'aire comprise sous la courbe.

Exécutons maintenant la construction suivante, plus générale

| Vi: 206). Divisons l'intervalle en x sous-intervalles #0n nécessaire-

ment égaux, et élevons des ordonnées aux points de division. Choisissons un point placé d'une manière quelconque(”) à l’intérieur de chaque subdivision.

élevons des ordonnées en ces points et par leurs extrémités, menons des lignes

/ 7, horizontales pour former des rectangles, rare ne 4 À comme dans la figure 206. La somme Fig. 206. des aires de ces n ele (la surface

AE ombrée) est, comme ot c ‘approximalivement égale à à l’aire comprise sous la courbe ; et la /mate de cette somme quand n croît indéfiniment et que chaque sous-mtervalle . tend vers zéro, est précisément l'aire comprise sous la courbe. Ces considérations montrent que l'intégrale définie (A) peut être regardée comme la /nite d'une somme. Exprimons maintenant ce résultat par une formule.

(1) Désignons les longueurs des sous-intervalles successits par

NU NT: Ne ., AT

(2) Désignons les abscisses des points choisis dans les sous-intervalles par « Y

Li, TL, Lys RATE Ln:

Les ordonnées de la courbe en ces __ points sont alors

da) eG@) e@ (3) Les aires des rectangles successifs sont évidemment Fig. 207

g(æ)Ax, ACHA VER | c(2,)A ar. LT )ATr. à

Tnb ZX

© Cette construction comprend le cas précédent comme cas particulier, savoir, quand: 1 point ca choisi à une extrémité d’un sous-intervalle.

(4) L’aire comprise sous la courbe est par suite égale à