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limite [x )Aæ, ee e(æ)A%, re Ts)AT, +... ÎE g(x,)AX,| ;
n — 2 Mais, d’après (A), l'aire comprise sous la courbe ni x)dx. J
Par conséquent, notre discussion donne (B) 1e a(x)dr — Je e(æ)Aæ, + (23): + +: + (x,)At,|.
pu Cette équation a été établie en faisant usage de la notion d’aire. L'intuition nous a aidés à établir ce résultat. Considérons maintenant (B) sémplement comme un théorème d'analyse ; il peut être énoncé comme il suit :
Théorème fondamental du calcul intégral. — Soit o(x) une fonction continue dans l'intervalle x — a à x =b. Divisons cet intervale en n sous-intervalles dont les longueurs sont Ax,, A, :.., Am, el choisissons un point dans chaque one les ne des points ainsi choisis étant respectivement æ,, æ3, +, a. Considérons la somme
(C) o(t,)AX: ee t)AR, — .. : — VAE ae D p(t)Aæ,.
La valeur limite de cette somme quand n croît indéfiniment et que chaque sous-intervalle tend vers zéro est égale à la valeur de l'intégrale définie |
; | JL x)dx.
* , ee a \
ne L’équation (B) peut s’écrire en abrégé comme il suit
(D) “ x) dr — AI TN ae
IN
À L'importance de ce théorème résulte du fait que nous pouvons calculer par intégration toute grandeur qui est la limite d'une somme de la forme (C).
On peut remarquer que chaque terme de la somme (C) est une expression différentielle, puisque les longueurs Aæ,, Aæ,, :.-, Ax, tendent vers zéro. Chaque terme est TOR appelé un élément de
Te €
Ve, 7 D MATE
Fes en à
ou, puisque b, — a — Ax4,
la grandeur à calculer. La règle suivante sera utile dans l'application du théorème qui précède aux AE pratiques.
Théorème fondamental. Règle. — 1" opération. Diviser la grandeur à calculer en éléments similaires tels qu'il soit évident que le résultat désiré sera trouvé en prenant la limite d'une somme de ces
2° opération. Trouver les expressions des grandeurs de ces éléments
telles que leur somme soit de la forme (C).
3° opération. Les lémites convenables x = a et x = 4 ayant été choisres, FOR le théorème fondamental
limite V'etm)an = fat
eg |
el intégrer.
205. Démonstration analytique du théorème fondamental. — Comme dans le paragraphe précédent, divisons l'intervalle de x — a à æ —b en un nombre quelconque n de sous-intervalles, non nécessairement égaux, et désignons les ab-
scisses des points de division par D,, D, :::, b,, et les longueurs des sous-intervalles par AT, Ato, **-, Aa. Désignons par æi, æe, -::,
zn les abscisses (une dans chaque intervalle) déterminées d’après lethéorème de lamoyenne (44), p. 188; élevons des ordonnées en ces points et par leurs extrémités menons des lignes horizontales pour former des rectangles comme dans la figure 208. .
Remarquons qu'ici (x) prend la place de
o/(x). En appliquant (44) au premier intervalle (a = a, b —b,, et x; se trouve compris entre a et b,), nous avons
DT LUE f(a) = (ri),
FE,) — f(a) = (mi) AT.
Nous avons également F2) — f(b,) = :(x3)Ars, pour le deuxième intervalle, (3) — f(b:) = g(r3)Ats, pour le troisième intervalle, MORE P Nu RE AP A MEN ©] LEE | FE) — fn 1)=p(rr)Atn, pour le n° intervalle.
En additionnant ces égalités, nous obtenons (E) @) — (a) = pr AT + pr) + +: + p(7n)ATr.
422 CALCUL INTÉGRAL | ei |
Mais o(21) - Aæ, — l'aire du premier rectangle, o(æ3) : Ar, — l'aire du deuxième rectangle, etc.
Par suite, la somme du membre droit de (E) est égale à la somme des aires des rectangles.
Mais, d’après (A), p. 418, le membre de gauche dé (E) est égal à l'aire comprise entre la courbe y = :(+), l’axe des x et les ordonnées æ = a et x — b. Donc la somme |
(E) Ÿ (x})At;
IA
est égale à cette aire. Et tandis que la somme correspondante
(G) | DO Fe IT
[Expression dans laquelle x; est une abscisse quelconque du sous-intervalle Ax:;.]
(formée comme au paragraphe précédent) ne donne pas une surface égale, nous pouvons néanmoins montrer que les deux sommes (F) et (G) tendent à devenir égales quand x croît sans limite et que chaque sous-intervalle tend vers :zéro ; car la ‘différence 2(t;) — #(2;:) ne dépasse pas en valeur numérique la différence entre la plus grande et la plus petite ordonnée dans Awx:.
Et de plus, “] est toujours possible (*) de rendre toutes ces différences plus petites en valeur numérique que tout nombre positif quelconque e, si petit qu’il soit, en poussant assez loin Popération de subdivision, c’est-à-dire en choisissant n suffisamment grand. Par suite, en choisissant x dans ces conditions, la différence entre les sommes (F) et (G) est plus petite en valeur numérique que sb — a), c’est-à-dire que toute quantité positive assignable, si petite qu’elle soit. Par conséquent, quand n croit sans limite, les sommes (F) et (G) tendent à devenir égales, et puisque (F).est constamment égale à l'aire, il s'ensuit que
b RO EE CT CAN
en
résultat fondamental dans lequel l'intervalle [a, b] est subdivisé d’une manière quelconque et où x;est une abscisse quelconque du sous-intervalle correspondant. :
206. Aires des courbes planes. Coordonnées rectangulaires. — Ainsi qu’on l’a déjà expliqué, l'aire comprise entre une courbe, l’axe des x et les ordonnées æ — a et x — b est donnée par la formule
(A) aire — NE ydx, A a .
la valeur de y en fonction de æ étant substituée d'après l'équation de la courbe. On retient facilement l'équation (A) en observant que ydx
(*) On montre dans des ouvrages d’ahalyse plus avancés que c’est le cas.
