NE

représente l'aire d’un rectangle (tel que CR) de base dxet de hauteur

y (fig. 209). I convient de considérer l'aire cherchée ABQP comme la limite de la somme de tous les rectangles.

compris entre les ordonnées AP et BQ.

Appliquons maintenant le théorème fondamental, p. 420, au calcul de l'aire limitée par la courbe æ — (y), (AB dans la figure 210), Paxe des y et les lignes horizontales y = e et y = d.

1" opération. — Construisons les x rectangles comme dans la figure 210. 7-4

L'aire cherchée est visiblement la limite DD de la somme des aires de ces rectangles ADN IN

quand leur nombre croit sans limite et y

que la hauteur de chacun d’eux tend vers y IN

LLDE Z W

ZÉTO.

2° opération. — Désig les haut 2 opération. ésignons les hauteurs par Ay,, Ay:, ete. Considérons les points Fig. 210.

- de l'extrémité supérieure de chaque in-

tervalle et désignons leurs ordonnées par y,, y:, ete. Les bases sont alors 4(y,), +(y2), etc.,.êt la somme des aires des rectangles est

DA GA +: + Hay) As = NV e(y)A Ye

3° opération. — L'application du théorème fondamental donne 14 . A R Rd —.

à | == ris Dean | e(y)dy.

Par suite, l'aire comprise entre une courbe, l'axe des y, et les lignes horizontales y = € x et y—d, est donnée par la formule

é d FA Fig, 21. (B) aire — [ xdy, Ce

la valeur de + en fonction de y étant substituée d’après l'équation de la courbe, On se rappelle la formule (B) en observant qu’elle représente la limite de la somme de tous les rectangles horizontaux compris dans

la surface demandée, æ et dy étant la base et la hauteur d’un quelconque de ces rectangles.

ExempLe L — sTRVEE l'aire comprise entre la parabole semi-cubique %? = x?

et la ligne x — AUTE 219).

Solution. Trouvons d’abord l'aire OMP qui est liée à d moitié de l’aire Cho chée OPP7. Pour la branche supérieure de la courbe y — x et en additionnant y toutes les petites bandes comprisesentre les limites æ = 0 et x — 4, nous obtenons, en substituant dans (A),

Ù k 4 à Gr ar aire on ne 2? dt == 12.

AUS DNA

X Par suite, aire OPP'— 92. 6% — 95.

ds,

Si l'unité de longueur est le centimètre, l'aire de OFPE. est 25° centimètres carrés.

NOTE. — Pour la branche inférieure, y = — x2;

aire OMP'== fe Eu d'or

; par suite

Cette aïre se trouve au-dessous de l'axe des æ ; elle a un signe négatif, parce que les ordonnées sont négatives.

En trouvant l'aire OMP ci-dessus, le résultat a été positif parce que les ordon-

nées sont positives, l'aire se trouvant au-dessus de l’axe des x.

Le résultat qui précède, 23, représente l'aire totale, abstraction faite au signe.

Comme nous le montrerons dans l’exemple suivant, il est important de noter le signe de l’aire quand la courbe traverse l'axe des x dans les limites d'intégration.

Exempe IL. — Trouver l'aire d’un arc de la sinusoïde y — Ge (fig. ne

Solution. En posant y — 0 et en résolvant par rapport à x, nous trouvons

| | LE 0m NO EL:

En substituant dans (A), p. 422, b “a ’ ‘aire OAB — fe VAT fe SIn Zût 2.

On a également

aire BCD — fur a nee sin tdx — — 9, a Me, ME ï

aire OABCD = fui ee [sin a =) 0} a \ 0

et

Ce dernier résultat lient compte des signes des deux aires séparées composant

le tout. L’aire totale, sans tenir compte des signes, est égale à 4.

Exewpe I. — Trouver l'aire comprise entre la parabole æ? — 4aÿ et la cubique

SE (fig. 214). & | à

d’Agnesi y — D de

D'LA ANS NE ra He tort Ÿ Var er « ar PR PR Fi Ca 1 M UPS NOT 2 F2 ) Cat aie DS |: UE»! (TX a ù M en he e

é =, % CRT,

F Solution. Pour déterminer les limites d'intégration, nous résolvons les équa- D î tions simultanément afin de trouver les Hi: points où les courbes se coupent. On trouve que les coordonnées de A sont (— 2a, a) et celles de C (2a, a).

D’après la figure 214, on voit que aire AOCB — aire DECBA — aire DECOA.

Mais, | ; - aire DECBA — 2 5%< aire OECB

2a 3/1 j Jo 2?+ 4a?

LORD es He te, o: “ +

Pur et |

KES | aire DECOA —9% aire 0EC—2 far =

We È a

M... Par.suite, à |

ù aire AOCB = 94°? — . —= La?(r — ©). Réponse.

Une autre méthode consiste à considérer la petite portion de surface PS comme un élément de l'aire. Si y/ est l’ordonnée correspondant à la cubique d’Agnesi, et y” l’ordonnée correspondant à la parabole, l'expression différentielle de l'aire de la petite portion de surface PS est égale à (y’ — y’)dx. En substituantles valeurs de y’ et de y” en fonction de x d’après les équations données, nous obtenons

‘5 aire AOCB —9 X aire OCB

= 1 dr —9 ST | pe d Vin moe + Ée + 4a?

Exempce IV. — Trouver l'aire de l’ellipse Fe 4 (0215).

Solution. Pour trouver l'aire du quadrant OAB, les limites sont x — 0, x — «; et