DRE

| HT V | Par suite, en substituant dans (A), p. 422, | a aire OAB — © PAG — 2?)? dx | a JG |

a Pole 2 Dear — 24 + Pare sin © | dr 2 CHEN rab

Par conséquent, l’aire entière de l’ellipse est égale à r@b.

Fig. 25.

207. Calcul de l’aire quand l’équation de la courbe est donnée sous forme paramétrique. — SI l'équation de la courbe est donnée sous forme paramétrique

| | Lis AOËE y = (6),

426 . CALGUL (INTÉGRAL

nous avons alors | ?

y =) ét ge POUT La substitution (*) dans (A), p. 422, donne

(A) aire — [ é p(t)f'(t)dt, ; X /ti1 k expression dans laquelle re quant T0 ele ru ET

Nous pouvons employer cette formule (A) pour trouver l'aire limitée par une courbe qui est donnée sous forme paramétrique, ou bien, nous pouvons trouver y et dx d’après les équations paramétriques de la courbe en fonction de £et de df, et ensuite substituer les résultats

directement dans (A), p. 422. (7e Ainsi, pour trouver l'aire de l’ellipse dans l’exemple 1v, p. 495, il aurait été plus simple d'utiliser les rs paramétriques.de l’ellipse. re ÿ: y=bsine, |

dans lesquelles l'angle excentrique + est le paramètre ($ 66, p. 88).

lei, y—=bsine et dr——asingde. d Quand z=0, y—T JU T 1 ? 5) ? È et quand LA Vip, :

En substituant dans (A), ci-dessus, nous obtenons 7 aire OAB — À: vx = — "ab sin? do — Le - 0 dr &:

Par suite, l'aire entière est égale à rab. s !. Réponse. EXEMPLES 1. Trouver l'aire limitée par la ligne pee 5+, l'axe des x et l’'ordonnée x — 2. Rép. 29:

2. Trouver l’aire limitée par la parabole y? = 4r, l axe des y et les lignes y — 4 ‘et Des D: É | | ‘ Rép. 1%. | 3. Trouver l'aire du cercle Hp =r - Rép. RS 4. Trouver l'aire limitée par y? — 9x et y—34. g Rép. :

5. Trouver l'aire limitée par les axes de coordonnées et la courbe y — er. a NC ARED TE 6. Trouver l'aire limitée par la courbe y — log * l'axe des y'et les lignes y —0 et y =—"2. | Res LEP — 1.

(*) Pour une démonstration rigoureuse de cette cet le lecteur consultera + traitès d'analyse plus avancés.

7. Trouver l'aire entière limitée par la courbe 0 +1 rie as. Rép. <ra?. © 8. Trouver l'aire comprise entre la chainette Da a [ee a e. +5 l’axe des y, l'axe des x et la ligne æ — 4. Rép. © (e 4) e €. : 20 M 9. Trouver l'aire comprise entre la courbe y — log x, l’axe des x et les ordonr. néesæ—1leltx—a. Rép. a (log a —1)+ 1.

Ju | er 2 3 z ê 10. Trouver l'aire limitée par la courbe (4) + ue) ls Rép. SE. # a # A UAL: Trouver l'aire entière limitée par la courbe CARE — LA2a —\t).. Rép, ra: ES 12. Trouver l'aire limitée par les courbes LV | dis )==smr" et 02 —2sinT-+ 20,

l'axe des y et l’ordonnée x — 1. | # ot Rép. f' PUS are de 0 NE | <

F + 43. Trouver l'aire comprise entre la cubique d’Agnesi y = — et l'axe ST

. des +, son asvmptote. + 4a?

EPA PE PURES | Rép. 47ra°.

te É. . Ê ) 14. Trouver l’aire comprise entre la cissoïde = T° et son asymptote, -la ligne x = 94. NAN MAP RES Rép. 5ra*.

15. Trouver l'aire limitée par y=0,;y—"8iel l'axe des y. “+Rép- 16. Trouver l'aire comprise entre les deux paraboles y? — px et x? — 2py. In?

Rép.

-extérieurement à la parabole. Rép. 0,4%.

1 18. Trouver l'aire limitée par y — 2°, y +, y — 9x. Rép. __ 49. Trouver une expression de l'aire limitée par l’hyperbole shailatées ‘4 D m2 — Vie @&, l'axe des æ et une ligne menée de l’origine à un point quelconque % 3 -@, y). Rép. a? D log ES Vo L y k, “2 20. Trouver par intégration l'aire du triangle limité par l’axe des Fe les ; ignes 2% + y+8—0 et y = — 2. Rép.

# v 24 Trouver l'aire du cercle | | | LAS Z—rcos6, 1 y—"rsin6; ne: