Trouver l'aire de l'hypocycloïde

Fig. 216. 3 ; D ACOSO, EU 0 SNS:

0 étant le paramètre. Rép:

cle circonscrit, \

AA de à Fee F'Èpte Fe , c’est-à-dire les trois huilièmes de Paire du cer-

27. Trouver l'aire de la boucle du folium de Descartes LH y=8ary (fig. 217).

NoTë. — Posons y = kr: alors peut ) / 1+ 65 2 __ 943 = —— “le et de La 1487 CLTRTE 1

Les limites de { sont 0 et,

28. Trouver par. intégration les aires limitées par les PRE 4) lieux géométriques ci-après : Fig: 217.

(aY (y ZT) 2, y = 0: Rép.

(ce) ay = x(x?— a), y = 0.

Ce) y= at — 2°), y —0.

() z = Yÿ y —1), x = 0.

(9) y? = x (2x +1). Aire de la boucle:

(h) y = 2° (7 +1). Aire de la boucle:

(D y=r+4, y—= Ir +4, y—=0.

(D) YVES, y, 2037 ÉTAT DE ONE ME ER CR (O) = y+9,y—0. à

(n) 2y= ny 20, =, Det (9) 2y=4, YA, YEN

(p) 5 = 10% eg

s|” 91= A DAtt SI-ele

Le en = al elsi . LOI }

208. Aires des courbes planes. Coordonnées polaires. — Supposons qu'on demande de chercher l'aire limitée par une courbe et deux de ses rayons vecteurs. Nous emploierons à cet effet les coordonnées polaires. Supposons que l'équation de la courbe soit

| pe —/(0), ss . \ et soient OP et OD les deux rayons (/g. 218). Désignons par « et

En L'INTÉGRATION, OPÉRATION DE SOMMATION - 429

les angles que les rayons font avec l’axe polaire et appliquons le

théorème fondamental, p. 420. |

| 1'° opération. L'aire demandée est évidemment la limite de la e somme des secteurs circulaires con-

4 Ç struits comme dans la figure 218.

Be. 2 opération. Supposons que les as angles des secteurs successifs soient D: à P.(0,0,) A5,, A6,, etc., et leurs TaVONS 24, a, etc. 7 PP La sonfme des aires des secteurs (*) est. 110 alors

RE RTS AE 2A6 SR LUN, 44 | | B | 9 2104 9 PE) DRE PI “+ ig. 218 ON

À Fig. : s | = Y 9 eiAG;.

3° opération. En appliquant le théorème fondamental,

pie NE pra, — L pd. He

Do =" Ni Een

4 s Par suite, la surface balayée par le rayon vecteur de la courbe en $e 1 - déplaçantde la position OP, à la position OD est donnée par la formule

(A) PA aire [' pds,

2 ere,

VIETL VO POREN LE -

la valeur de 2 en fonction de 6 étant substituée d’après l'équation de ; | |