CD, DE, EB
La longueur de la courbe est définie comme étant la limite de la
somme des cordes quand le nombre des points de division croit indé-
finiment, de telle façon que chaque corde tende séparément vers séro
en même lemps.
Puisque cette limite est également la mesure d’une certaine ligne
droite, l’opération qui. consiste à chercher la longueur d’une courbe
est également appelée « rectification de la courbe ». Le lecteur a déjà employé cette délinition en Géométrie pour la
< longueur d’une courbe. Ainsi, la circonférence d’un cercle est définie comme étant la limite du périmètre d’un polygone régulier inscrit (ou circonscrit) quand le nombre des côtés croît indéfiniment.
La méthode employée au paragraphe suivant pour trouver la longueur d’une courbe plane est basée sur la définition qui précède et le lecteur devra noter soigneusement comment elle est appliquée.
210. Longueurs des courbes planes. Coordonnées rectangulaires. — Nous allons maintenant exprimer, sous forme analytique,
Ja définition du paragraphe précédent, en faisant usage du théorème
fondamental. ; RAS La courbe y—/(x) étant donnée et sur elle les ponts P'(a, c),
Q(É, d), pour trouver la RES de l’arc P'Q, on opère comme il
suit :
l'opération. — On prend un nombre quelconque » de points sur la courbe entre P’ et Q et l’on trace les cordes joignant les points adjacents, comme dans
Le 1 EN PER ue la figure 221. La lon- | eueur cherchée de l’are # | P'Q est évidemment la VHC TES limite de la somme des ie de longueurs de ces cor “ des.
Fig. 291.
2° opération. — On considère une quelconque de ces cordes, PP’ par exemple (Ag. 222).
Soient Pæ',y) et P'(x + Ax’, y +Ay)
les coordonnées de P’ et de P”.
Alors, comme au $ 90, p. 151,
PP'= VO) + Gy,
; à > 4 AY NT > ou P'P' — |: AO JE | | A:
[En divisant sous le radical par (4x) et en multipliant à l'extérieur par Az°
Mais d après le théorème de la moyenne, (44), p. 188 (si on désigne Ay par f (8) — fa) et Ax’ par d — a), nous obtenons
= f() LL ar <æ'+Ax!, 5 es
æ, étant l’abscisse d’un point P, dela courbe, entre P' et P’, où la tangente est parallèle à la corde.
En AIN
PP'= |1--/f(x))? Az = longueur de la première corde.
ne. L'INTÉGRATION, OPÉRATION DE SOMMATION 433 00
4 De même, M | 000 41 “& | > 15 DID te GS TT A 2 Ax” — longueur de la deuxième corde. 54 0 L . L . . , , . . , . ° ° 11 … . PPQ—{1+/(x))?Azx®— longueur de la n° corde. | 04 # La ee de la ligne brisée inscrite joignant P’ et Q (somme | des ARS est alors la somme de ces expressions, savoir : ne rare - 1+/f@)] "Ar +[t+ f(x)? Aa" +... à D 1 / .s | ++] Aa [+ f(œ)]* Ax0.
T1 D Ft — En appliquant le théorème fondamental, limit 2 jte 12 Ft aa [1 + PC) td TT) Par suite, en désignant la longueur de l'arc P'Q par s, nous avons la formule de la eee de l'arc
; ef + FC tds | É ou. 4 ‘& | : dv\? + | ne.
. @) s=— d |: + F3 | ax, a 0 4 s JT une ï L: j n,
Rpapression dans Fe du doit être trouvé en fonction de + d après dx ‘150 ROUES ; )
| l'équation de la courbe donnée, . De.
Quelquefois, il est plus commode d'utiliser y comme variable indé- 4 | pendant Pour établir une formule qui Convienne à ce cas, nous | savons RU (35), p. 168, que
ee TS RES
(fee LA it di RES | te TS | parsuites, dr à dy. | nu k dy
En substituant cette valeur de 4x dans A) et en notant que les Granvie, Calcul diff. et int. 1 DR 3 k..
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