HAT { LS
DO 43 | CALGUL: INTÉGRAL:
D ‘ limites correspondantes de y sont € et d, nous obtenons C) là formule 0 - de la longueur de l'are E | : | ar /dx\? > , B Di—— [ | RENE —+- | dy Di =f[[é ne". expression dans laquelle en fonction de y doit être trouvée d’après : l’équation de la courbe donnée.
ExempLe. — Trouver la longueur du cercle 2°? + %? = r? Gig: 293). Sd FA * Solution. En différentiant, nous avons : ee | s # (1H y.
En substituant dans (A), il vient Le arc BA — 13 [+ + ni] de | | aEA 1 1 x? = LE Me r y? 2 Te lle [En substituant FR d’après l'équation du cercle, afin d'obtenir tout en fonction de æ.] ns 1 7 : v mn Ar" - 2 arc AB = r e Re es |" arc sin STE ae 6 rx" L' ralgi. 2% 1220 Pie s1 , la longueur totale-du cercle est égale à 2xr. | Réponse. | EXEMPLES 4. Trouver la longueur de l'arc de parabole. semi-cubique ve depuis l'origine jusqu à l’'ordonnée x — . | ES 3354, 716 \ : ; | ; 297 02 À Dar Ne HAE 2: Trouver la longueur totale de LHVDéovoMiraà a +yi = que Rép: 6a: 3. Rectifier la Cha INOtLE te oi de + e “) depuis æ — 0; jusqu au nue (à, Fe Rép Lien ne 2° 4 4. Trouver la longueur d’un arc complet.-de la cycloïde : HS ï ‘1 ; æ= r arc sin vers Z — (/2ry — y. Rép. 8r. 1. FER | s | ra | : ui. NorTe. — Utiliser (B). Ici: 7 — WE PARNER À LT AY Very —5
D. fraise “gaie f É De
Dis Trouver la longueur. de l'arc. de la parabole. ed depuis le ‘sommet Eousqu au peinte de la parabole qui a pour abscisse le paramètre.
à | Are «Rép. L Le + Bo (LE VT)
6. Rectifier la courbe Jay? — x — 34? depuis . æ — 0 jusqu'à à — 34.
Er HN 2ay/3:
12 7. Trouver la longueur d’un quadrant de la courbe bi Que ca —4 HR Æe LR | & En. | Rép. ++ % | $ ( 1 a + b
ne 8. Trouver Ja longueur de la courbe e' — CA ‘entreæ— &.etr— b.
' Rép. log + at.
13 9. Les UE de la développante d’un cercle sont
3 æ — a (cos 0 + 0 sin 6),
n.. y = a (sin 0 — 6 cos 6).
4 Trouver la longueur de l'arc depuis 0 — 0 jusqu’à 0 —0,. Rép. LU :%
A6. Trouver la longueur.de l’arc de la courbe Le de ne depuis 0 — 0 jusne |] mo Fe , T |
| RURNEES SRE EP qas \ 5 | 2 | ie Rép. val 1).
ù A4 Trouver les longueurs des arcs des courbes ci- après : : k CECRESE Aer. (DU NOTE TES 41
44% N y=logsec x; x —0, x —T.
Ould CE lose eee 0,
4 (f) y = log cosec x; = x =?
‘2 Que ra lat, 2 = D É 211. Longueurs des courbes planes. Coordonnées polaires. — Les formules (A) et (B) du paragraphe précédent pour trouver les longueurs des courbes dont Les équations sont données en coordonnées . ie in les expressions différentielles
Le «(eme
verbal
Le
a gr fé CE No LE
ne e
E. SUN - [dx + diÿ]?.
Dans Rue “ir SI nous introduisons sous le radical la différentielle
Transformons maintenant cette expression en | coordonnées polaires au moyen des substitutions | D —="0 COS 6, YEpSIN07 20) SEA Alors dx = — ; sin 645 + cos 6d, | : dy = p cos 6db + sin 6dp, el nous avons |
de + dy}? = [(— 6 sin 00 + cos 6de) + (e cos 046 + sin 6de |?
Si l'équation de la courbe est je es \ e—f{6), ; alors dé = fO)di = d.
En substituant dans l'équation différentielle ci-dessus, nous obtenons
{de [+ (2) ] fe
Si z et 8 sont les limites de la variable indépendante 0 correspondant aux limites dans (A) et (B), p. 433 et 434, nous obtenons la formule de la longueur de l'arc
o fle(sile
expression dans laquelle ? et den fonction de
- 0 doivent être substitués d'après l'équation de
la courbe donnée.
Quand il est plus de prendre : 0
comme variable indépendante et que l'équation est de la forme
0— ge).
ue, __ dB alors | : d—= 9 (e)de = — de.
PRER Ho de U #,-0On 0Dtient 0 ve
En substituant dans [,?46° + d:?]?,
| [di \* 1% LR CRT nn Debian
Par suite, si 4, et +, sont les limites correspondantes de la variable indépendante p, nous obtenons pour formule de la longueur de l'arc,
4 + 1 @). ose ft) al ar 1 E F4 cn dp 4 | expression dans laquelle ® en fonction de & doit être substitué
d après l'équation de la courbe donnée.
EXEMPLE. — Trouver la longueur de la cardioïde 2 — ae + cos 0).
do
Solutions ICT === 4asmEP.
- “TRS
Si nous faisons varier 6 de 0 à 7, le point P (fig. 225) engendrera la moitié de la courbe, En substituant dans (A), p. 436, il vient
= 1 [act + cos 6)? + a? sin*6]° do
ae 0 Je [2 ae cos 0) 546 Er) de cos La — 44:
0 AS 0 A # — 8a. Réponse.
es |: EXEMPLES
( 1. Trouver la longueur de la spirale d’Archimède o — af, depuis |’ origine jusqu'à la fin de la première révolution.
Rép. ra 1 +4 + L log (2e + V1 +4).
; 2. Rectifier la spirale ire ea ‘ l'origine jusqu’ au point (ep, 0).
| Eye +1 HA. AA Note. — Utiliser By
3. Trouver la longueur de la courbe 9 — a sec? . 2 Rép. (v2 + log tg je
| 4. Trouver la REIeRE de la circonférence du … cercle p—29rsin 0. Rép. %rr.
F depuis 0 —0 jusqu’à à 0— 7 :
5. Trouver la Fr de la spirale hyperbodue: 00 — a depuis (2,, 0,) jusqu’à.(co, 02).
2 Fig, 226.
Ro VER VE La a log AG Ve + 0) ) “ (a Are Va + | 6. Henier que la longueur totale de la courbe 9 = a sin? est St, Montrer
| que OA, AB, BC sont en progression arithmétique fa. 296).
17. Trouver la longueur'de l'arc de Ja cissoïde: p— 24 tg 0 sin 6. depuis: ( = 0
jusqu’à 0 — Li
