Volumes des solides de révolution. — Désignons par V

le volume du solide engendré par la révolution de la surface plane ABCD' autour de l’axe des æ; l’équation’de la courbe plane DC'étant

C ad

1% opération. — Construisons 224) | des rectangles à l’intérieur de l'aire plane ABCD, comme dans la figure 227. Quand cette aire tourne

rectangle engendre un cylindre de révolution. Le volume cherché est évidemment égal à la lite de la somme des volumes de ces cylindres. Pre

: 2° opération. — Désignons les bases des rectangles par Ax,, Ax,,

autour de l'axe des æ, chaque

etc., et les hauteurs correspon-

‘dantes par 41, y». ete. Alors le volume du cylindre engendré:par le

rectangle AEFD est ryfAz,, et la somme. des volumes de tous ces

cylindres est

YA + rYAL +: + ryiAX, TD ryiAT 3° opération. — En appliquant le théorème fondamental (les limites étant OA = «& et OB— 6), il vient

n ES b ù ñ =. p'en é À TX pes1 Par suite, le volume engendré :par la révolution autour de l'axe des æ de l’aire limitée par la courbe, l’axe des æ°et les ordonnées. æ— a et æ—0 est donné par la formule qu |

(A) Ve r ['yax Nas

pe expression dans laquelle: la valeur de y en fonction de æ doit être ; D butée d’après l’équation de la courbe donnée. Cette formule est facilement retenue sinous considérons une tranche ou disque du solide “compris entre deux plans perpendiculaires à l’axe de révolution comme

un élément du volume et que nous le considérions comme un cylindre

de hauteur infinitésimale dx avec une base d’aire +ÿ° et par suite,

de volume rYÿdx:

De même, quand OY est l'axe de révolution nous utilisons à formule

Re (8) | | Van ['xdy * ï he

expression dans laquelle la valeur de æ en fonction de y doit être substituée d’après l'équation de la courbe donnée.

4 … Exewre. — Trouver lé volume engendré par la révolution de l’ellipse “4 TS Lee re à He 5 à autour" de l'axe des x (fig: 228).

£ x: Solution. Puisque y? — D (ue — +?) et que le volume demandé est égal. à deux CN ae . fois le volume engendré par OAB, nous na obtenons, en substituant dans (A), EX Re e =ÈT f'yax= ae P (a? — x?) dx hs 9rab?

; RE ne S d à Ve Arab?

Pour vérifier ce résultat, posons b = à.

de la sphère, qui n’est qu'un cas particulier de l’ellipsoïde. Quand Pellipse tourne autour de son grand axe, le solide engendré est appelé un sphéroïde allongé et quand elle tourne autour de son petit axe, un sphéroïde aplati,

fs EXEMPLES

as D Trouver le volume de ja sphère engendrée par la rév olution du cercle 1 -2x +y?—= 7? autour d'un diamètre. Rép. $rrs.

#1. "tion autour de:OX.du triangle: dont.les sommets sont (0, 0), (a, 0), (a, b): Trou- ‘er: également le. volume engendré par la rév olution. de ce triangle autour de 0Y: Vérifier les résultats géométriquement.

“ # ta

RU se a NS 7 | Fig. 228. | Alors Ve, expression du volume

3. Trouver le volume du tore (anneau) engendré par la révolution du cercle 2? + (y — b} — a? autour de OX. Rép. 9r°a°b.

4. Trouver par intégration le volume du cylindre droit engendré par la révolution de l'aire limitée par &—0, y—0, æ—6, y — #4, (a) autour de OX; (b) autour de OY. Vérifier les résultats géométriquement.

5. Trouver par intégration le volume du tronc de cône PAREGARE par la révolution de l'aire limitée par y = 6 — x, y —0, x —0, x — 4 autour de OX. Vérifier géométriquement.

6. Trouver le volume du paraboloïde de révolution engendré par la révolution autour de son axe de l’arc de la parabole ÿ = Aa compris entre l'origine et le

point (æ4, y).

, s vil 2% 1. | . CAE 4 pi . Le F »

Rép. Irax?— ue c’est-à-dire la moitié du volume du cylindre circonscrit.

7. Trouver le volume engendré par la révolution de l'arc de lex. 6 autour de l'axe des y.

Rép. Zu LIT c’est-à-dire le cinquième du cylindre de hauteur yLet de Vi je rayon de base «..

8. Trouver par intégration le volume du cône engendré par la révolution autour de OX de la partie de la ligne 4x — 5y + 3 — 0 qui est interceptée entre les axes de coordonnées. 1 ES

Rép. —.

P 100 9. Trouver le volume engendré par la révolution autour de OX de la courbe (x — 4a)y? = ax(x — 3a) entre les limites x — 0 et x — 3a.

Rép. ae (AS 16 log 2).

10. Trouver le volume engendré | par la révolution autour de OX des aires. limitées par les lieux géométriques ci-après :

(a) FAST TGS a tr Mt NA VU TÉe TE ne x a ar. | (b) La parabole x? 2% RL GI MES LE : Ée Fe (c) Un are de y = sin x. PA | | a (d) La parabole y? — 4x; x — 4. 327.

Ce) y= ver, z 1, y=0. FLN) (EST, Eva à se mo . à (g) La cubique d’Agnesi y — a Fer » y—=0. A 42. (h) PALAU re (E) LE en à y—=0,x—0,r=8.

(jy Es mi D re (nm) Ur EA YU mr.

(5) YAG—x)= 2°, y=0, 2—=0,1—=4. (n) y—=(x +9), y=0, rz=—1,7—0.

(4) AP = rm = 4 (0) Géo yes 0, LES,

"1 F ; Lu

44 Trouver le volume engendré par la révolution des aires limitées par les lieux géométriques ci-après :