NS
Se
De (HE
CA
PT ER CRN ER PNR Wa
Pour appliquer le théorème fondamental, il est nécessaire d'exprimer.
(*) L’aire latérale d’un tronc de cône de révolution est égale à la circonférence de la section . moyenne mu:tiplièe par l’apothème. es
A SAONE PER NE D
ce: produit comme une fonction de sbediete d’un certain, point de l'intervalle Ax,. Comme au S 210, p.432, mous obtenons; en utihsant
le théorème de la moyenne, la longueur de la corde
B) CENI-Glrar,
expression dans laquelle x, est l’abscisse du point P,(.. y.) de l'arc
CE, où la tangente est parallèle à la corde CE. Soit la ligne hori-
zontale passant rs M qui coupe QP; en R'et désignons RP, par 2, (*).
RRAIDTS ete | [Oo NM "y, =
En substituant (B) ct 49) dans (A), nous obtenons .
2r(y, —<)|1 (a Ÿ| : AT — aire latérale du premier tronc de cône.
De même,
2 re ce Y|
LM
se ,— —a)[1 + fi) | : Aæ,=— aire latérale du dernier tronc de cône.
f: Par Suds
SRE ne) DAC AZ,
Fi | — sommé des aires latérales des troncs de One.
Cette relation peut s'écrire
Dealt+rayian— date) ar.
tr : 4
3% opération: En appliquant le théorème fondamental à la première sonime (les limites étant: OA = « et OB— #), nous obtenons
ie D 2e Fr AGO E Ati — fe y! + FCY]* dx
En)
La limite de la seconde somme de (D), ne n =, est zéro (7).
-(*). Le lecteur devra observer que quand az: tend vers zéro, & tend Éaleontt vers zéro: - (**) On peut le voir aisèment comme suit. Désignons la seconde somme par S,. Si £.est ègal au plus grand des nombres ROSIUES léal,]S2|; ER alors |
Sn < Nues At.
La somme de sons est, d'aprés x p. 443, égale à la somme des cordes CE, EF, es Soit tn.
A, = aire latérale du deuxièmétronc de tône.
Par suite, l’aire de la surface de révolution engendrée par l'arc CD tournant autour de OX est donnée par la formule
Fe Sx FR 21 ME Ée | | Es s
dans laquelle y et ce en fonction de æ doivent être substitués d’après da
l'équation de la/courbe de révolution, et S désigne l'aire cherchée, Nous pouvons encore écrire la formule sous la bite
S=2 [| yds,
en nous rappelant que | |
ds = (dx? + di? DE ee he + GA > dx. (27), p. 152.
dx
: Cette formule se retient aisément si nous considérons une étroite bande de la surface comprise entre deux plans perpendiculaires à Faxe de révolution comme élément d’aire, et que nous la regardions comme la surface convexe d’un tronc de cône de révolution d’apothème infiniment petit-ds, avec une section moyenne dont la circonférence est égale à 27y, et par suite d’aire 2ryds.
De même, quand OY est l’axe de révolution, nous utilisons la formule
q dx\? 5 ià DPtAIL Î a d !.
) AE ne | nl " | | dans laquelle la valeur de x et celle de ie en fonction de y doivent | ay
être substituées-d’après l’équation de
la courbe donnée.
" Le U (2 ExEMPLE. — Trouver l’aire de la surface de EDR engendrée par l’hypocycloïde
2 pe 4 5 tournant autour de l’axe des x (Ag. 231). |
; 3 2 Se Solution. Ici D = — 1, MOT NT %
Le
cette somme. Alors S,<el. Puisque limite €—0,
Sn est un infiniment petit et, par suite, He Sn. Rate = 2%
é we ie (a #4 ï ee CRE VE Au ge ie feet Mr NT ES
RE Là nn à te © 7, p, + nu ie
En substituant dans (E), p. 444, et en notant que l'arc BA n hate que la
moitié de la surface, nous note
2 2\3 NT d = f (os a} f 4 +2 Fa p 23 \ PARA ENNE S # PARC LEE à =% f Re —— da one fre) 3 dx F Hp __ Ga?
Las té> ; £ - ; 197ra?
