PE TR D

12. Trouver: l'aire de la surface de révolution engendrée. par chacune: des

courbes suivantes tournant : (a) autour de OX; (b) autour de OY.

{a) L’ellipse É CRC RER TE

NoTe. e—excentricité de l’ellipse Va? — b2

(b) La chainette y— = (are)

dé £—. 0 à T4;

Ya 3 —Oay,;déxr—1l'àir —2.

ly—=e cos 0, dé: — 0 à La (e) 32°? + 4? — 8a?.

(f) c+y—4, dex—0à x —4.

(9) y—= 2x +4, de y — 4 à y— 8.

Autour de OX.

x 27xa0 x 95h24 are sine.

Autour de ON.

ra(A — et).

r(S —- log 27.

(2er +1).

Tru?

214. Applications diverses. — Au $ 212, on a montré comment se calcule Je volume d’un solide de révolution au moyen d’une seule intégration. Évidemment, nous pouvons considérer un solide dé révo'ution comme engendré par:un cercle de rayon variable, dont le centre se déplace sur l'axe de révolution, lé plan de ce cerclé étant perpendiculaire à l’axe. Aïnsi dans la figure: 232; on peut supposer que lé cercle ABCD dont lé plan est perpendiculaire à OX, engendre le solide de révolution se déplace depuis O0 jusqu'à N, le rayon MC(— y) variant continuellement avec OMC x) suivant l'équation de la courbe plane tournant autour de OX.

Nous allons montrer maintenant comment cette idée peut être étendue au calcul des volumes qui ne sont pas dés solides de révolution quand il est possible d'exprimer l'aire de sections planes parallèles du solide comme fonction de leurs distances à un point fixe. Suppo-

O—EGFH, quand son centre

Le te NRA ET 7.1 DRE + he k b MRC

sons que nous divisions le solide représenté par la figure 233 en ) tranches par des sections perpendiculaires à OX et prenons l’origine comme point fixe. Soit FDE une face d’une de ces tranches. Construisons un X prisme droit sur FDE comme base, la seconde base s'appuyant sur l’autre face de la tranche.

Puisque, par hypothèse, l'aire de FDE est une fonction de ON, ou x, soit f(æ)= l'aire de FDE— l'aire de la base du prisme, et soit Aæ — la hauteur du prisme. n Par suite /(æ)Ax — le volume du prisme, et DCE — somme

CE des volumes de tous les prismes. Il est évident que le volume cherché est la limite de cette somme. Par conséquent, d'après le théorème fon-

damental, ni Ces nie NF) An, = Je f(a)dx.

Fig. 233.

et nous avons la formule (A) V— [ f(x)dx,

dans laquelle (x) est l'aire d’une section du solide perpendiculaire à OX, exprimée en fonction de sa distance (= x) à l’origine, les limites de æ étant choisies de façon à s'étendre sur toute la région R occupée par le solide.

Évidemment, le solide O — ABC (/g. 233) peut être considéré comme étant engendré par la section plane DEF variant continuellement quand ON(=— x) varie de zéro à OM. | Les exemples suivants illustreront ce principe.

ExEmPLE |. — Calculer le volume de l’ellipsoïde

au moyen d’une seule intégration (fig. 234).

Solution. Considérons une seclion de l'ellipsoïde perpendiculaire à OX, telle que ABCD; avec b! et c

Fig. 234.-

à L'INTÉGRATION, OPÉRATION DE SOMMATION 449

| comme demi-axes. L'équation de l'ellipse HEJG dans le plan XOY est SE LEA D LE PS | ET

ne résolution de cette équation par SU à ee b') en fonction de +(— OM) donne REX

De même, d’après l'équation de l’ellipse EFGI dans Le plan XOZ, nous obtenons

ES 4 %. à.

ee RQ co Cod < Lt (42

Par suite, l'aire de l'ellipse (section) ABCD est

ee sde! = (a? — à?) = Kay

ce a?

> En substituant dans (A), il vient

À E : Fa = SR a — x?) dx = <rabe. Rép.

| ExeMrue I. — Trouver le volume d’un conoïde droit à base eili ne le rayon de base étant r et la hauteur a (fig. 235).

Solution. Le conoïde étant placé comme l'indique la figure 235, considérons une section PQR perpendiculsaire à OX. Cette section est un triangle isocèle,

et comme RM =V9re — x? (on le trouve en réal vant par rapport à y l’équation du cercle ORAQ, PE 2+ y= 9rx) et MP —4, l'aire de la section est

3 ay rx — — x? — fCe).

SREn D mor dans (A), p. 418,on a pe

DO pres V=a ‘es “Var — #4 dé =? Ha

Ce voie est la moitié de celui du hidre de même base et dé même hau- teur.

Nous allons maintenant aborder Pétude de la pression fluide et por à calculer la pression d’un fluide sur une paroi verticale.

__ Supposons que ABCD représente une partie de l’aire de la surface | verticale de la paroi d’un réservoir. On demande de déterminer la pression fluide totale sur cette aire. Fracons les axes comme dans la

BRASVÈLE A ME et int. , | 99

ni M PARTIES A ie

L RP VRR A E PS TR n2 POLE rie CRE 2 PORT A RER ER Ent eue, SP à

figure 236, l'axe des Y coïncidant avec la:surface du fluide. Divisons AB en x sous-intervalles et construisons > des rectangles horizontaux à l’intérieur de l'aire. L’aire d’un rectangle (tel que EP) est alors yAx. Si ce rectangle est - horizontal et à la profondeur æ, la pres- NF&Y) sion fluide sur lui est . WæyAx(”)

LLDD DO 2 7

Surface du liquide

D expression dans laquelle W — le poids d’une unité de volume du fluide. Puisque la pression fluide est la même dans

ioutes les directions, il s'ensuit que WæyAx est approximativement

la pression sur le rectangle EP dans sa position verticale. Par suite

la somme É | D WaæyaAx,

Fig. 236.

représenté approximativ ement la pression sur tous les rectangles. La pression sur l'aire ABCD est évidemment la limite de-cette somme. Par suite, en vertu du DeRIaUUE fondamental,

limite Ÿw LYAX, = sf Wayde. |

{hr=iho se) th |

Done, la pression fluide sur une surface verticale submergée limitée par une courbe, l’axe des æ et les deux lignes horizontales += a et æ = b, est donnée par la formule

(B) pression fluide = W | ‘yxdx, Ja

‘dans laquelle la valenr de y en fonction de + doit être substituée d’après l'équation de la courbe donnée.

Nous supposerons que le poids d’un mètre cube d’eau est de 4000 ke.

NW).

Exewpse Il. — Un kridait circulaire de 6 mètres de diamètre ‘est à moitié rempli d'eau. Trouver la pression sûr la paroi qui ferme le conduit (fig. 237).

(*) La pression d’un fluide sur une surface een ete donnée quelcorique est égale au poids d'une colonne du fluide ax ant cette.surface comme base et une hauteur-égale à la distance de £ cétte surface à la surface libre du fluide. À