À D'OR

452 CALCUL INTÉGRAL n'a 5

Le travail effectué en vidant cette partie du réservoir est évidemment

la limite de cette somme. Par suite, en vertu du théorème fondamental, n

limite N\ Wim = | Waprdr.

nent

Par conséquent, le travail accompli pour vider un réservoir san la forme d’un solide de révolution, de la profondeur & jusqu'à la profondeur #, est donné par la formule Re

dans laquelle la valeur de y en fonction de æ doit être substituée d’après l’équation de la courbe de révolution.

EXEMPLES

1. Calculer le travail effectué pour pomper l'eau remplissant un réservoir hémisphérique de 10 mètres de profondeur(fig.239).

Solution. L’équation du cercle est

Par suite, y? — 100 — x?, :

et les limites vont de æ — 0 jusqu’à x — 10.

En substituant dans Cr sa obtenons

Travail — 1 000: \. (400 — x?)rdT — 9 500 0007kgm.

2. Une auge de 2 mètres de profondeur et de 2 mètres de largeur au sommet a les extrémités semi-elliptiques. Trouver la pression contre l’une des extrémités lorsque l’auge est remplie d’eau. : Rép. 2 666%s,67.

Fig. 239.

; 3. Une écluse de 8 mètres carrés a son sommet au même niveau que la sur- < face de l’eau. Trouver la pression sur chacune des deux parties suivant lesquelles le carré est divisé par Pune de ses diagonales.

Rép. 85833k8,33, 170 666%8,67..

4. Trouver la pression sur une face d’un triangle équilatéral vertical submergé de 4 4 mètres de côté, un des côtés se confondant avec la surface de l’eau. Rép. 8000Ke.

5. Un réservoir à huilé horizontal et cylindrique es à moitié plein d’ huile. Le + diamètre de chaque extrémité est de 4 mètres. Trouver la pression sur une ne extrémité, l'huile pesant 900 kg. par mètre cube. | Rép. 4800 kg.

6. Trouver Le travail accompli pour pomper l’eau d’un réservoir semi-elliptique rempli d’eau. La partie supérieure est un cercle de 6 mères de diamètre et de 5 mètres de profondeur. =. Rép. 56 ee Site

- l’abscisse est a.

er | ; r Le L pignon ds AT DER à eh COS SC RS TR de UE Tan 2° a dde | CARRE TRE À» Teste ve TR NOR ST A AS pas, x ES 4 n “ \ ù . = ARRET LAS ARE À ICSSES 6 | S ; : ‘à

7. Trouver la pression sur la surface du réservoir dans l'exemple 1. 8. Trouver la pression sur la surface du réservoir dans l'exemple 6. 9. Un réservoir conique de 12 mètres de profondeur est rempli d'un liquide

pesant 1300 kg. par mètre cube. La partie supérieure du réservoir est un cercle

de 8 mètres de diamètre. Trouver l'énergie dépensée pour le vider. Rép. 249 600 x kgm.

40. La section droite d’une auge est une parabole dont le sommet est en bas, le paramètre ayant 4 mètres de long. Trouver la pression sur une extrémité de l’auge quand elle est pleine d’un liquide pesant 1100 kg. par mètre cube, sachant que l’auge à 4" de haut Rép. 1166 kg.

11. Trouver la pression sur une sphère de 6 mètres de diamètre qui est immergée dans l’eau, son centre étant 10 mètres au-dessous de la surface de l'eau.

NOTE. — Pression — ru f. yU0+zx)ds et ds — Le dx. À Rép. 360000 x kg.

42. Une planche ayant la forme d’un segment parabolique est enfoncée dans l’eau par une corde perpendiculaire à l’axe. Le sommet est à hauteur de la sur-

‘face et l’axe est vertical. Elle a 20 mètres de profondeur et 12 mètres de largeur.

Trouver la pression en tonnes.

43. A quelle profondeur la planche de l’ex. 12 doit-elle être enfoncée pour que la pression soit pics ? Rép: 12 mètres.

14. Un réservoir à eau a la forme d’une demi- Shèére de 8 mètres de diamètre surmontée par un cylindre de même diamètre et de 10 mètres de hauteur. Trouver le travail accompli LEsa le vider quand il est rempli jusqu'à 2 mètres du sommet.

45. Le centre d’un carré se déplace le long d’un diamètre d’un cercle de rayon a, le plan du carré étant perpendiculaire à celui du cercle et sa grandeur variant de telle façon que deux côtés opposés se-déplacent sur la circonférence du cercle. Trouver le volume du solide engendré. : Rép. a?.

16. Un triangle équilatéral variable se déplace, son plan étant perpendiculaire à l’axe des x et les extrémités de sa base sur les points des courbes y? — 16ax et y? = 4ax respectivement au-dessus de l'axe des +. Trouver le volume engendré par le triangle quand il se déplace depuis l’origine jusqu'aux points dont

/3 BR 2e 7 ép. 5

47. Un rectangle se déplace à partir d’un point fixe, un côté étant constamment égal à la distance à ce point, et l’autre égal au quart de cette distance. Quel est le volume engendré lorsque le rectangle se déplace de 2 mètres ?

Rép. 4 mètres cubes.

18. Sur les ordonnées doubles de l éllipse PH — 1, on décrit des triangles

isocèles dont l’angle au sommet est égal à 90° dans des plans perpendiculaires à celui de l’ellipse. Trouver le volume du solide engendré en supposant qu'un de ces triangles variables se déplace d’une extrémité à l’autre du grand axe de

l'ellipse. Rép ab,

d'in rl th

AS ANSE dE

LOST Ur SL ENT A LR TES et

19. Déterminer la force d'attraction exercée par une baguette mince, droite, homogène et d'épaisseur uniforme, de longueur ! et de masse M, sur un point matériel P de masse m, situé à une dis-

m H---2--- jt | tance a d’une ‘extrémité de la baguette P CASE ; dans sa ligne de direction (fig. 240).

É Solution (*). Supposons la baguette divi-

Fig. 240. sée en parties égales infiniment petites

M (éléments) de longueur dz.

Par suite, Va — masse d’un élément quelconque.

La loi de Newton relative à la mesure de l'attraction entre deux masses quelconques est produit des masses

force d'attraction = == (distance entre elles}

Par conséquent, la force d'attraction entre le point matériel en P et un élé-. ment de la baguette est

* mdz

Er:

(t+a} expression qui représente un élément de la force d'attraction cherchée. L'attrac-

tion totale entre le point matériel en P et la baguette étant la limite de la somme de tous ces éléments entre æ — 0 et x — !, nous avons

M mdx force d'attraction = : rte ee o (t +a} L Jo (œ+a) Mm . Ré 7 EE 5 éponse

20. Déterminer la force d'attraction dans l'exemple précédent, si P se trouve sur Ja perpendiculaire élevée sur la baguette en son milieu à la distance a. 2mM l

Cali

2a 21. Un vase ayant la forme d’un cône circulaire droit est rempli d’eau (fig. 2414).

Si k est sa hauteur et » le rayon de sa base, quel temps faudra-t-il pour qu'il

se vide par un orifice d’aire «a au sommet ?

Rép. arc tg

SÉSÉR ISLE =--7--

Solution. En négligeant toutes les rétanres on sait que la vitesse d'écoulement par un orifice est la même que cellé acquise par un corps tombant librement d’une hauteur égale à la profondeur de l'eau. Si donc x désigne la profondeur d’eau, ;

en re Désignons na dQ le volume-d’eau écoulé dans le temps

Fig. 2414.

(*) Les deux ÉronrDies qui suivent donnent des « méthodes abrègées » communèment employées, l’exposition détaillée suivie dans les PAPASTAPESS précédents étant omise: Néanmoins. le lecteur devra Ÿ SURpIASE &

dt, et par dx l'abaissement corresportlant- du niveau de l’eau. Le volume eau écoulé par l’rifice dans l’unité de temps est

aÿ 9gæ,

ce volume étant mesuré comme celui d’un cylindre droit d’aire de base a et de hauteur v(— V2gr).

- Par conséquent, dans le temps dt, (A) | dQ = ay gr dt.

En désignant par S l’aire de la surface de Peau quand la profondeur est x, nous avons, d'après la géométrie,

\ s. TTL Rene EE D Th

Mais le volume d’eau écoulé dans le temps dé: peut également être considéré comme le volume du cylindre AB d’aire de base S et de hauteur dx ; par suite,

, ; rrdr.

En égalant (A).et (B) et en résolvant par rapport à dt, nous avons D de rede FREE ah4/2gæ ; Par conséquent, À LR Marin | Onr js ARR Se = [2 or Réponse.

bé”. 0 ah2ÿ2ge SaV/2g

22. La température demeurant constante, un gaz parfait se dilate dans un. cylindre contre une tête de piston, du volume v, au volume v,. Trouver le tra- vail accompli.

Solution. Soit € l'aire de la section droite du cylindre.

4 SSI do est l'accroissement de volume, alors —— la distance dont la tête de

: piston se déplace lorsque le volume subit l'accroissement de. = En vertu de la loi de Boyle (”), ,

2 | pr — —.k (— constante), :

4 p Hub pression sur la tête de piston.

| Dr s

>. Par suite,

pe élément de travail Ééctué ee — ES + — (= pression x distance). % , TT total effectué — Je (Hi |

PR sou / vo L ue 1 x é | à vo. Ÿ YA

| rs k 0)

#t Cr lo Ve

+ * ({* Ou loi de Mariotte (note du traducteur). Ve pr te | . t ;

; CHAPITRE ÉXIXe A re Es INTÉGRATION SUCCESSIVE ET PARTIELLE ES

e … 7 É one = - + ; S = VE À LS

215. intégration successive, — À la différentintion s successive | dans le calcul différentiel correspond l'opération inverse d’entégration à -successive dans le calcul intégral. Nous allons illustrer au moyen d'exemples les détails de cette opération et montrer comment il se présente des problèmes dans lesquels il est nécessaire de l apphquér:

Exempce |. — Étant donné = 6e, | nn NÉ RU RE ART NP TE Re

Solution. L'expression donnée peut s’ écrire

Re ie A “pe dant LR PP DR SAUEN

7; ju > ire re

By dx?

En intégrant, il vient

ou — 37° + Ci.

Cette dernière expression peut le en ane D RRPE CES 0 ER EU

NB RE RG RER DES Le dE dx e Poe ; a à ÿ “ Rene , F4 s * Res Fr :

oo Se TC .

# XX < “4 æÆ , SE

En intégrant de nouveau, on à : ne er FRS POSE CSA

ou TO I NT Ro es

INTÉGRATION SUGCESSIVE ET HRETRRRE

el, en Sent on obtient en 2

(B) 1 Re + GT + Ca.

On écrit également le résultat (A) sous la forme

dy ef Gxrdxdx (ou = 4 Ga).

Réponse.

ton PRES une intégrale double, À tandis qu'on écrit (B) sous la:

forme

et on l'appelle une entégrale triple.

y— ie L Grdedede (ou = f | f Grau)

“& Here = D'une façon rate une entégrale multiple nécessite deux ou | plusieurs intégrations successives. Comme précédemment, s'il n'y a pas

de limites assignées, comme dans l'exemple ci-dessus, l'intégrale est

cessive, Rate est définie. à

PORN CT CT ?4 $ ‘" Ne

É Solution. Lei Pa. = #, dx?

En intégrant comme dans l'exemple [, il vient

5e RTS ES M y + 0, 7% (D) Le An ed cs:

- indéfinie ; s’il y a des limites assignées pour chaque intégration suc-

. Exewete IL — Trouver l’é équation d’une courbe pour chaque point de laquelle ls dérivée seconde de l’ordonnée par rapport à l’abscisse est égale à 4.

Réponse.

* -L expression (D) est l’ équation d’une parabole. s'étendant vers le haut et dont

: l'axe est parallèle à OY.

sibles, nous obtenons toutes les paraboles d’équation (D).

En donnant aux constantes arbitraires d'intégration toutes les valeurs pos-

À + Pour déterminer €, et c,, deux conditions SA DBIEMENEALEES sont nécessaires,

par exemple :

(a) au point où x = 2, la pente de la tangente à la parabole est nulle ;

… (@) la parabole passe par le point (2, — 1). :® La substitution dans (C) de æ—9 et de a = — 0 donne

Parsuite, - RATÉ Niges et (D) devient Cyr RT +0.

Fe.

(b) Les coordonnées de (2, — 1) doivent satisfaire à cette équation.

4 | séquent

év

Ke Ê = : Fr D LRSFEN ET En ou G—+T.

Par con-

IE it 15 3 WS LL NT LD S.

458 . GALCUL INTÉGRAL. 4 Par suite, l'équation de la parabole ÉRE qui salisfait aux trois. condi- ] tions est Fe y = 2x? — 8x +7 4 | P EXEMPLES RE PR 2 e 4. Étant donné Cr — a?, trouver y. Rép y LES HTC ES CoT + Ca. dx 60 2 a 5 2. Étant donné I = = 0, trouver y. | Tes ae T + Ca. / TA 7 TA PC: | Cyr? n 3. Etant donné dy =, trouver y. y = log x + SR ed RU é | “ 3 ] 5 $ 4. Étant donné = sin 0, trouver ©. + pæ cost + CH Co vu 4 5. Étant donné L° — 38 — + trouver s. sus Liog re LARPRT Cye de t3 Tes OUEN à 5 | RCE ; 6. Etant donné d?c — sin + cos?:d=2?, CHERE ‘6 Se . Sin p-+ 9H CS,

7. Déterminer les équations de toutes Les courbes ayant une courbure ques

NOTE. = = 0, d'après (40), p. 178, puisque:K = 0. KA $ d dx: .. :

Réponse. y — CE. + €», système doublement infini de lignes droites. ;

8. L'accélération d’un point mobile est constante et égale à à f. Trouver la distance (espace) parcourue.

NOTE. Res : | Rép. portes.

de 2 9. Montrer dans l'ex. 8 que c, représente la vitesse initiale et €, la distance initiale.

10. Trouver l'équation de la. courbe en: chaque point de laquelle la dérivée

seconde de l’ordonnée par rapport à l'abscisse est égale à quatre fois l'abscisse

et qui passe par l'origine et le point (2, 4). Rép. he - Se — 4). 14. Étant donné . —& Cost, trouver y. Fe | | | | “Rép. y— x cos x — 4sin rie HR + eee. :

12. Étant donné El — — sin, trouver y. l | Rép. = TOUS CNE OL or Le à

5 APE EC À ee 2

216. Intégration partielle. — A la différentiation partielle dans le calcul différentiel correspond l’opération inverse d'intégration par- {ielle dans le calcul intégral. L'intégration partielle, comme on peut le supposer d’après la nature du sujet, signifie que étant donnée une expression différentielle comprenant ‘deux ou plusieurs variables :

indépendantes, nous l’intégrons en considérant: d’abord. une seule d’entre elles comme variant, toutes les autres restant constantes. . Ensuite, nous intégrons le résultat, en en considérant une autre comme

variant, les autres restant constantes et ainsi de suite. Ces intégrales

- sont appelées double, triple, ete., suivant le nombre des variables. On les appelle nr . intég jgrales TRADE ape Ainsi l’expression

eo az ff fe pe

indique que nous voulons vas une fonction « de æ et de y telle que

dTÔ y

Dans la solution de ce problème, le seul trait nouveau est que la

constante d'intégration a une-nouvelle forme. Nous allons: illustrer.

y ces ne au moyen d'exemples. Ainsi, supposons que nous . voulions trouvér #, étant donné

5 | La du TA rome) Le bee CN Ÿ Leon RS d TC AL

En: intégrant. cette expression par rapport à a en considérant y comme constant, nous avons | | LOS SUN ERCERS Re | expression dans laquelle + désigne la constante d'intégration. Mais | puisque y à été regardé comme constant pendant l'intégration, il peut arriver que # dordte de y de quelque façon ; en fait, + sera en général une fonction de y. Nous indiquerons donc cette dépendance ie 9 VISà-vis de y en remplaçant. + par le symbole :(y). Par suite, la forme la

plus senérale de w est 8080 ua? + ay + 3x + e(ÿ),

expression dans laquelle (4 y) désigne une fonction arbitraire de : hr É Comme autre problème, cherchons |

& | SCAN 0 ? “= ff (2° + )dyda.

de #. s ref PSE à e Eee intégrales de même nom dans le paragraphe précédent sont des cas particuliers de

- <elles-ci, quand nous par rapport à la même variable.

Cette relation signifie que nous voulons trouver w, étant donné du | dLÔY

A pe Le

En intégrant d’abord par rapport à y, considérant æ comme constant, nous obtenons

dU À ae:

TT — y? “A UT), dT RATE 4 UD)

expression dans laquelle 4(æ) est une fonction arbitraire de æ et doit être considérée comme la constante d'intégration.

Intégrons maintenant ce résultat par rapport à æ, en regardant y comme constant ; nous avons | RTS