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expression dans laquelle P(y) ést la constante d'intégration, et
PÉCI=S [ Wx)dx.
217. Intégrale double définie. Interprétation géométrique. Soit f(x, y) une fonction continue et à valeur unique de x et de y. | Géométriquement,
(A) = y) est l’équationd’une surface telle que KL (fig. 242).
Prenons une certaine aire S dans le plan XY et construisons sur 5 comme base, le cylindre droit dont les génératrices sont, en consé- :quence, parallèles à OZ. Supposons que ce cylindre coupe la surface KL suivant l'aire S' et cherchons maintenant le volume V du solide limité par S. Set la surface cylindrique. Nous procéderons comme il suit:
L A des distances eg galement éloignées (= Ax) dans l'aire $, tirons une série de lignes parallèles à à OY et, ensuite, une seconde série de . lignes parallèles à à OX à des distances également éloignées (— Ay). PPar ces lignes faisons passer dés plans respectivement parallèles à
- ‘de nas dont la surface commune est A. Ay. Cette construction
divise le cylindre en un certain nombre de colonnes verticales, telles que MNPQ, dont les bases supérieures et inférieures correspondent
respectivement à des parties du réseau en S$ et S. Comme les bases
supérieures de ces colonnes sont curvilignes, nous ne pouvons pas, naturellement, ealculer directement le volume de ces colonnes. .Remplaçons-les par des prismes dont les bases supérieures sont trouvées comme il suit:
= Chaque colonne est coupée par un plan parallèle à OXY passant par le sommet de la base supérieure pour lequel + et y ont les plus petites valeurs numériques. Ainsi, la colonne MNPQ est remplacée par le prisme droit MNPR, la base supérieure étant dans un plan RES -par P parallèlement au plan XOY.
Si les coordonnées de P sont (æ, y, z), alors MP — AS Er A 7. et; par suite, | -(B) : = volume de MNPR=—/(x, y)Ay.Ax.
En calculant le volume de chacun des autres prismes formés de la
même manière en remplaçant æ et y dans (B)-par des valeurs corres-
pondantes, et en additionnant les résultats, nous obtenons un volume nv: appr oximativement Le à V, c'est-à-dire
(@ As Ne No pay he
| expression dans a le double signe de sommation De Ÿ indique qu'il y a deux variables dans la quantité à sommer. Si maintenant, dans la figure 242, nous faisons croître indéfiniment Je nombre des divisions du réseau dène S en faisant décroître Ax et Ay indéfiniment et que nous calculions dans chaque cas la double È somme (C), V' tendra évidemment vers V comme limite, et par suite, nous avons le résultat fondamental suivant :
(D) LRU = HN œ
Ne
YOZ et à XOZ. A l'intérieur des aires S et S’, nous avons un réseau dé lignes, comme dans la figure 242, le réseau de S étant composé
» OV | | ' a — el [ “ter D fa y [e)
Le volume éherché peut également être trouvé comme il ut
Considérons une quelconque des tranches successives suivant lesquelles le solide est divisé par les plans parallèles à OYZ, par exemple la tranche dontles faces sont FIGH et TLIK. L'épaisseur de cette tranche est Az. Or, les valeurs de £ le long de la courbe HI se trouvent en écrivant æ—O0D dans l'équation 5 = f(x, y), c'està-dire que le long de HT, s
| EAU D UV) j Par suite, < F 4
aire FIGH = fl (OD, pdy.
