DEEP

De même pour la seconde intégrale.

y = Vire M rat re la

- Ilest'intéressant de considérer comme il suit la méthode qui récèdie |

relative à la recherche du volume d’un solide :

Considérons une colonne de ‘base infiniment petite #ydx et de hauteur £, comme un élément du volume. En additionnant tous les éléments depuis y=DF jusqu'à ÿ—DG, æ étant une constante (soit — OD), on éôbtient le volume d’une tranche infiniment mince ayant comme face FGHI. Le folume du solide entier se trouve alors en additionnant toutes les tranches depuis 7 — OA jusqu'à æ — OB.

Dans lintégration partielle comprenant deux variables, ordre

ms indique que les limites du second signe d'intégration |

‘eee à la variable dont la différentielle est écrite en premier lieu, les différentielles des variables et leurs limites correspondantes

4 - sous les signes d'intégration étant écrites dans l’ordre renversé,

- Exempze. — Trouver la valeur de l'intégrale double définie

Solution. + de an Ce +-yyivar

es * Ge+ y [ar

— Re [au EI ae , Jo 9 0 |

L'interprétation géométrique de ce résultat signifie que nous avons trouvé le

volume du solide de forme cylindrique s'appuyant sur OAB comme base et limité au sommet par la surface (plan) z = x + y.

Nous appelons maintenant tout particulièrement l'attention du lecteur sur

FT ce + nDavie Go. 228). |

la manière dont les limites encerclent la base AOB qui correspond à l'aire S

de la figure 249, p. 460. Ici, notre solide e (Ag- 243) US sur une ss dans le

plan XY. limitée par y = 0 (ligne OB) y =V a? — x? (quadrant de cercle AB) ED Gien 0e) limites de æ. 0 æ—a (ligne BE) Se

ES limites de y;

218. Valeur d’une intégrale double définie prise dans l’étendue d’une région $. — Dans le paragraphe précédent, nous avons représenté l'intégrale double définie comme un volume. Cela ne signifie pas nécessairement que toute intégrale double définie est un

v da car linterprétation physique du lt dépend de la nature

des quantités représentées par æ, y, 2. Ainsi, lorsque æ, y, z sont simplement considérés comme les coordonnées d’un point de espace,

et rien de plus, le résultat est en effet un volume. Afin de donner

à l'intégrale double définie en question une interprétation n’impliquant pas nécessairement le concept géométrique de volume, nous observons immédiatement que la variable # ne figure pas explicitement dans l'intégrale et que, par suite, nous pouvons nous limitér au plan XY. En effet, considérons simplement une région S dans le plan XY et une fonction donnée f(æ, y). En traçant un réseau comme précédemment, caleulons la valeur de |

= [(x, y)AyAx -

K à 07447 INTÉGRATION SUCGESSIVE ET PARTIELLE 465

| pour chaque point() du réseau et faisons la somme : nous trouv ons.

de cette façon

DD : Days

el Éraloment nous passons à la linite quand Aæ et Ay tendent vers Zéro. On appelle cetté opération #atégrer la fonction f(x, y) dans l'étendue de la ré- | gion S, et on la désigne par le:symbole

a fe y)d e

| = sr d'après (G). nous avons

i : LRU fre. toute — E : He cu

| Nous pouvons énoncer notre résultat comme il suit :

Théorême. -— Pour entég qrer une 2 fonction donnée" {(x, y) dans l'étendue d'une région donnée S A NZ dans le plan XOY, on calcule

da valeur de :

imite ee = NYC 9 MARS

comme il est expliqué. ci- dessus, et le ur est ue a r intégrale

Dale défime *. ‘ $ | | 8 | Pa nie fe y)dyd. OU 1 ji CR 2 er

les limites étant pes de telle sorte. que la région entière S soit. s couverté. Cette opération est indiquée brièvement par : DRE eo Î NN OU

ne) Plus généralement, divisons l'intervalle sur OX en sous-intervalles A1, A2, +++, Arn, et sur

en sous-intervalles yes AY2, ---, Ayn. Traçons le réseau et dans chaque rectangle Ai Ayk, ».

choisissons un point x; FA7 (pas nécessairement un sommet). Il est GHAIQRS inltuilivement que