ayla— (4) (ape — an 4, | 4 | GA k je

4, Py , 3 dy das xd?

dy dy 28579 k2y = et.

dx? ren ES d'y dy dy dy RES ER LOE Es EE FAR DEEE Po à 0:

dx SAS 1 Fe MER FT ° da 0 *A rs TA OCT RE RSRRE dx? GMT € ESP DECITRE 9. + y cos a = Sn 2 dy dy Er | 10: = Pre De | NTI E qu, PU 2 0, dx?

231. Équations différentielles du premier ordre et du pre- mier degré. — Une telle équation peut être ramenée à . Max+Ndy= 0, dans laquelle M et N sont des fonctions de æ et de y. Les équations différentielles qui rentrent dans celte catégorie peuvent À être divisées suivant les types ci-après :

Type I. Variables séparables. — Quand les termes d’une équa- tion différentielle peuvent être arrangés de façon qu EU prenne la

forme

TO re

Vs CONTE

DOTE FCpdy —0,

4 à fa) est-une fonction de æ seulement et F(y) une fonction de y À seulement, la méthode est appelée Cha des variables et la solu-

Solutions. ; à (23

y = CT + c — c?.

y? = 2er + c?. | 700 NAS EAP LE #28 L+c "4, DÈTENSS or ca #00 y —= GX Sas FT Ca EP 4 Bt , e? + é y = (Ci + De + — =. Cr (k— 1} D Y = (Ci + CT + Cu? + cas) er. ‘a À fi SE AY = — + CS + CT. Fratg ST. D h.

arc sin Ÿ —c— x. 4 ; d “ : . Pa y = Sin & — À + ce sinz, DD

y ee gel arcsin# + CoeT a arc sinz

YU che

la forme

k LEE à à

LIN ÉTULE A ER 7 ARTS 4 Er :

Fr PORT EE te LENS D RS ee G :

tion est obtenue par intégration directe. Ainsi, en intégrant (A), nous 1

obtenons la solution générale

(B) [Cdt [rod=e

dans laquelle € est une constante arbitraire. Des équations qui ne

A ‘ * LA PAP TT ps 7

sont pas données sous la forme simple (A) peuvent souvent être rame-

nées à cette forme au moyen de la regie suivante pour séparer les variables : |

1 opération. Chasser les ee des fractions et si

l'équation comprend des dérivées, multiplier par la différentielle

de la variable. indépendante.

2° opération. Réunir tous les termes contenant la mème différen-

tielle en un seul terme. Si, alors, l'équation prend la forme XYd£ + X'V'dy —0, |

où X, X' sont des fonctions de x seulement et NY, Y! des fonctions de 1 y

seulement, elle peut ètre ramenée à la forme (A) en divisant par X'Y.

3*.opération. Intégrer chaque parte séparément, comme dans (B).

ExEMPLE 1. — Résoudre l'équation dy A y dr (A+a)ey

Solution. 1'e opération. (+ x?)xydy = (À + y°)dz.

2€ opération. (+ dx — xl + x)ydy = 0.

Pour séparer les variables nous divisons par æ(4 + æ?)(1 + y?), ce re donne dx Pare RU æ(A + a) A1+7y re. | HAE d | 3° tion. A) be D De 2 ut a el opération. ae 15 Loi CO, dæ CEE ydy : Se EE Et RS . 380 Je ER s Le

os — — 3 log + +?) — à og (+ y —=E6, | log (A a Penn et

Ce résultat peut s’écrire sous une forme plus compacte si nous remplaçons —2C par log ce, c’est-à-dire si nous donnons simplement une nouvelle forme à la constante arbitraire. Notre solution devient alors

log (1 + x?) (1 + y?) = log x? + log c, log (1 + 27) (A + y) — log cr, +2) A+ y) —:07?. Rép.

à RENE PE ae ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 495.

| Exeru IL — - Résoudre l'équation | PS HAT ES de. | nor ns PAL dy | — Sega à à RTS > = “ar dx A

| Solution. {re opération. axdy se Qaydr = Cu. Ÿ: ;

xge opération. ÿ er 2aydæ sa œ (a — y)dy =0. es RIRE ë ;

… Pour séparer les variables, nous divisons par æy, Ce qui donne | : RE | ; fre ee Cu ROTA NN à Éc 3e opération. % es . je me FER | | LUE ; ; 4 = x NE é LES À us lue: ne j De $ 2a log x + a log y — y — c,

Re br Re.

28 el RIT CE pe D TS CESR 30 En passant des Jogarithmes aux exponentielles, Cu résultat peut être écrit sous É P

laforme | i NES s : , (8) y 3 ; 5 ne: D] — a” & % à RU TUE ) # x AE APR 2

Ou: | RE : S É. sue | | FR 4 — En sant fe constante e4 par ce, nous obtenons notre solution sous la forme 2 L- ox He ay = ces . Réponse. pe E EXEMPLES Équations différentielles. | Solutions.

«A4, ydx — xdy —0:. te y=cx. : :

: D. A+ de — (A — e)ly = 0. | HAE 2) 0. à m3, + PR epinse | log ty + x — y —c.

LS 2) dy — ydx — 0: | REPAS or Le 3 4. (- — à us 4 T — | y Pape LCTESS LRO PU 2m PEU 4 Jog Ÿ — 6, EE 5 de. TRUE PSE RE SES ns Ÿ 6. wdv + (v — a)du = 0. DAT NME COR, FSI

Le 7, LU EU u? ROUES Ar % dd SE à : HN et 4 — cv DT Le eus. (1 docs Hs, A? arctgs—c. ; D. de--pte 0000... =: L p—=ctCos6. Pie

: 1" - r” pre à EP: x" ‘ LC ve AO 4 : : a:

Ë ; 548 y Dre es » 4 Ÿ LÉ T0 d …. * KR" va » 2 }

e. 40. sin 0 cos 948 — cos 0 sin ed — 0. cos? —c cos 0-

02 | 411. sec? 0 tg +d0 + sec? 9 tg 0d? —0. pÜtgpee. ons } ‘4 42, sec? 0 gode + sec? 9 tg 04 —0. Sin? 0 sin pce, à y K | 43. æydi — (a + x)(b + y) dy —=0. z—y—=c+ log (a + x)y? ne : 4 + 2) dy — V1 AP dr = "0: | arcsiny—arctgr=c. 4 à en En PAS € 720 RUN 2 ER x MCE Se Rx Er "5 4 15. V1 — 2 dy + VA — dx —0. yI— Ha pe - 16. 3e’ te ydx + (1 — er) sec? ydy —0. tgy—c(i—e}. ES | NEA L a ee A7. 2rydy = (A + r?)dx. = — L+ DROITS % 18. (ù — ÿx)de + (y —2y)dy = 0. CFO APE EE F.

Type II. Équations homogènes, — L'équation différentielle

Max + Ndy —0

est dite homogène quand M et N sont des fonctions homogènes de æ et de y du même degré (*). Les équations différentielles de cette. nature peuvent être résolues en faisant la substitution

YEL

ce qui donne une équation différentielle en v et æ dans laquelle les fonctions sont séparables et où, par suite, nous pouvons suivre la règle

de la p. 494.

EXEMPLE. — Résoudre l’équation

: 2 dy 7] 2H RE = ry <<.

à y Re 3 Solution. | AVE ce Gé? — æy)dy = 0.

à Puisque nous avons affaire à une équation différentielle homogène, nous la :

transformons au moyen de la substitution

VE rs

po. d'onvte dy — vdx + rdv, re ne +128 | et notre équation devient |

Fe 2x? + (x? — V2?) Guz + dv) — 0,

a + a (A — 1 dv = 0.

Lu .

FA a ——— ————— #

PL (*) Une fonction de x et de y est dite homogène par rapport aux FAN PE CE si i le résultat de la ÿ X substitution de æ et de y par xx et ày (à étant arbitraire) se réduit à la fonction primitive multipliée par une certaine puissance de ». Cette puissance de à est appelée le degré de la fonction DRASS

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 1 ATEN Pour séparer les FHEQe divisons par va, Nous obtenons | Fe pue PRE A A — v}dv Fe 4 0, é F Je | 5 | =" ? Le T + Fe U—v— C, si.

| loge vz = C +0, 74 À vT — ec + 0 — eC . ere | ; de ré.