UE HE

où z est une nouvelle variable et une fonction de x à déterminer. L En différentiant (B), il vient

CE) dx — “de | DURE AE. 3 En substituant (C) et (B) dans (A), nous Sbionons ; ds du LE | 2 ur Pur= 0, ; 5 ou |, dre À Ur due | | me D : LE ÉCLATER NV A Es ES ( ) | ut (ae Pu)e Q: fes 4

Déterminons maintenant, si possible, la fonction # de façon que le terme en z disparaisse ; cela signifie que le coefficient de z doit s’'annu-

ler, c’est-à-dire que ae ; . SCA J

| + pu 0. ee | <

Alors AU = Pr ie | Free È

et CE log, u — — | Par + G, E 4 cé qui donne cé | | Rae PE

(E) Sa CUIR L’équation (D) devient alors eh 2 tree RS RS

Pour trouver £ d’° après la dernière équation, substituons dans cette équation la valeur de x d’après (E) et intégrons. Nous obtenons à

ce Ge :

; à eds = Qef des 7 RE UN LE 4 (F) eZ [ Qefédr +. a TE

Ÿ D” ” } re | RL x A \ Nr rl AU LA S Aus 2) 22 et hit, »

er ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 499 La solution de (A) se trouve alors en substituant les valeurs de « et | de z d’après (E) et CF) dans (B), ce qui donne

(OS y—=e"s al if Qef “dæ+C).

La démonstration de l'exactitude de (G) s'établit immédiatement en substituant dans (A). En résolvant les exemples compris sous le titre qui précède, Le lecteur devra trouver la solution suivant la méthode

indiquée ci-dessus, plutôt qu’en utilisant @ comme formule.

Exewpce. — Résoudre l'équation

4 dy, 5 I —+ + 1}.

# 0 dx z+i Gite 4 Solution. Cette équation est évidemment de la forme linéaire (A), où ; g à à P — — t —= (x + 1}. ere Q=(xz »:

#4 dy dz du J or pipe BE OU | É- Posons 7 More Ha :

En substituant dans l’é équation donnée (1), nous obtenons 1 HE à ds, du Quz

pa

LA Le pts ts ce

| Re ES = (+4), ou * dz du Qu + RPRD no berne Ci = Pour déterminer u, NOUS égalons à zéro le coefficient qe 2e ce qui donne ce Fe du 2 =; É= a Us dr AE : Fe du 0 u 1+x … PÉMPAAR AR ARE logeu — 9 log (1 + æ), | » ()- | u = ele +) — (1 + Tv). (*) | RE STeHon @ devient maintenant, puisque le terme en x disparaît, dz- J re NES ue 1»

Es dz =(x +1)? dx,

És

Pour plus de simplicité nous avons supposé la valeur particulière zèro pour la constante .d’inté-

Mo LES logo u = log,elos( +2) —log({ + x} log,e— log(1+x}, il en résulte que u=({ +).

En substituant (4) et (3) dans y — uz, nous obtenons la solution

LO Lu

re Se

EXEMPLES

a différentielles.

a | HR DE RE PRET C'EPEE TS

dx ee Fe ) 9, Way rT+i “dr x x