DEA

= da a

Y = CLIS y = ax + cuÿ1 — r?.

y = ax + C1 + 2°}.

s —sint--Ccos ft.

sS—sint Air çce-"ni

y = Le? + c).

EY—=T+C. - Fais CEA

Cérs

taines équations qui ne sont pas linéaires peuvent être réduites à la forme linéaire au moyen d’une transformation convenable. Un me de

ces équations est

expression dans laquelle P, Q sont des fonctions de æ seulement ou À des constantes. L'équation (A) peut être ramenée à la forme linéaire (A), « type IT, au moyen de la substitution z2—7y"*". Toutefois, cette . réduction n’est pas nécéssaire si nous employons la même méthode, :

pour trouver la solution, que celle donnée sous le type HE, p. AST.

Ilustrons ces considérations par un exemple.

Exewpzr. — Résoudre l'équation

Pr ; PERS UE Y es 3 1 à De To —— —= l ee ER Do) | | + =aloge.y

£ Solution. Cette équation est évidemment de la forme (A), dans laquelle ‘. P=—, PRE ne à ‘Age

Posons y — Uz; alors ru + 2 Li

. œ . ‘dx dx

; En substituant dans (1), nous obtenons 1e Lee nd + LUE La og æ ns | RSS dx dx Es

4 (2) SEAT Pneu je ao. u?z.

| (FER à

__ Pour déterminer « nous égalons à zéro le coefficient de z, ce qui donne

ne | RHIRP TE

cp USB LUTT 3 Er TE RÉ à - À . FRÈRES u Æ

à | | : Ke cu=t.

… Puisque le terme en z disparait, l'équation (2) devient maintenant

D: dz Be: ; . u—=—=alog x.u?z?, TRS | dx

4 y 2 Œ log x . ur.

à 2 AT

En remplaçant u par sa valeur. d’après (3), il vient

7 VAE Z a) 00 < & RE Does 22

L | dz dx 160 3 | ——alogz.—, :

D 7 Tune Es 6 Le 9

es 4 e 4 Se PDU PT Te” aie MONTE 14 ) Tr ; $ a (log x)? + 2C

En substituant (4) et (3) dans y —uz, nous obtenons la solution $ Ps ed A 9

ss Ame a(log æ)? + 20

4 po ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 301.

æy[a (log x} + 20] +2 = 0. : Réponse.

È 502 | CALGUL INTÉGRAL :

e Equations différentielles. Solutions.

2 L D vy = y: y? 2? + A1 + ce.

‘ - dx 2 ES :

> 2: A — Ty = ar y?. | y = (cy/1 — a? — re Ô ;d RATE A | 3. ST — ay = x +1. 3 Gear — Te — — | ge ss on a a?

: ; »° 2 ; 4. CE + 2y) = 1. | x[@ — y)e? + c| = e?, | 5. (y log x — 1)ydx — xdy. y ={(cx + log x +1), Les @ : __tgæ+secx | 6. y — cos TR = cos æ(1 — sin x). rares 3 = FR: el + y = y log z. y—t—=logxz+ A+ cx. 1 Te | | 232. Équations différentielles du n° ordre et du premier degrè. — Sous ce titre, nous considérerons quatre types d'équations » qui ont de l’importance dans un ouvrage élémentaire. Ce sont des cas 4 spéciaux des équations différentielles linéaires que nous avons : 5 | définies, P. 497. 4 13re LE Hquation différentielle linéaire 4 2 ; d'y d2— 15 miRpearé | (A) ds DIE en en st : + pnÿ = 0, 1 e | ; À ; dans laquelle les coefficients p,, pa, …, p, sont constants. ; à La substitution de e” à y dans le premier membre donne À (re + D; pe — + Pa pr —2 + + p, Je :

27 Cette expression s’annule pour toutes les valeurs de > qui satisfont | à à l'équation ee 3 n n — Sn — 2 d à : (B) FA pau Ste DE Sn me CRE + p,=0Û ; “4 % et par suite, pour chacune de ces valeurs de r, e"" est une solution È 2 de (A). | | HS: L’équation (B) est appelée l'équation caractéristique de (A). Nous

sérénss hé t.s À à

observons que les coefficients. sont les mêmes dans les deux, les. exposants dans (B) correspondant à l’ordre des dérivées dans (A), et …

ee :

NPERE MST ee LUCE RL trie “

Er 4 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES | 7e 2508

- y dans (A) étant remplacé par 1. Supposons que les racines de l’équa-

tion caractéristique (B) soient r,, 7,, …., r, Alors

HO ee, LE, ., et

sont des solutions de (A). De plus, si chacune des solutions (C) est multipliée R£E une constante arbitraire, on trouve que les produits

(D) MAN Re cent sont aussi de solutions (). Et l’on peut montrer, par substitution, que la somme des solutions (D), savoir

À (E) eye PE re. + cer? ; É est une solution de (A). La solution (E) contient » constantes arbi- traires; c’est la solution générale (si les racines sont toutes différentes), . tandis que les résultats (C) sont des solutions particulières.

à ", Bari mm”

1% Cas. L'équation caractéristique a ses racines imaginaires. —

Homme les racines imaginaires se présentent par paires, supposons

2 qu" une paire de ces racines soit - 7 4 = a + bi, rs = a — bi, V1, - La solution correspondante est

y SE ee bi + op eta—toe F à É — eee"? + GER) = e"%lc(cos dx + ésin bæ) + c(cos bx — à sin bæ)} (*)

Le ele C3) cos bæ + ic, — c:) sin ba,

: © En substituant ce"1® à y dans (A), le Subte de ss devient & (ra 3: ASE TS + ps PP + + pricer 1, Mais cette expression s annule puisque r, est une racine de (B) ; par ‘suite, ce"1® est une solution

: de (A). De mème pour les autres racines.

(kg En remplaçant x par ibx dans l'exemple 1, p. 268, nous avons

22 33 44 5 #5 b2x2 Libres bat as

z De ES | eibæ = 1 + ibx —

EU 22 | LE , bèx S75 | (4) as M Rr Ron (or —° ‘31 PE + He) % et en arts œ par —ibæx, il vient 7 :

k SE cie 24 — ion — Dee à tee Det LR ee PR ASE AT CEE PDT: 27e te ; . + Lib 4 b?r° bé: * Ë b3z3 br 0 Gp bei Pete. er) “di b 2 #t Mais, ge remplacant : æ par bæ dans (A), (B), p. 267, nous obtenons

Mur (5) bas to U Es, Dion

è À : | oil 4 |

Ti sin bx = bx — ae e En RE

Er se, suite (1) et (2) deviennent | LS

ER et = cos br + isin bæ, er ibt — cos bx — isin bæ.

à biais 2 2 à |;

D NT D NUE P ENT EMI CNET Fe Lo arA % or PCR ET RL EE es Le a ts De à. is ‘ /

504 CALCUL INTÉGRAL ou, y = e%(A cos bx + B sin #x),

expression dans laquelle À et B sont des constantes arbitraires.

2° cas. L’équation caractéristique a des racines multiples. — Considérons l’équation différentielle linéaire du 3° ordre

Py ,, dù (F) + GE + pe GE + pu =0.

dans laquelle p,, p:, p, sont des constantes. L’équation caractéristique correspondante est

(G) ri + pr + par + ps = 0

Si 7, est une racine de (G), nous avons montré que e”* est une solution de (F).

Nous montrerons maintenant que si 7, est une racine double de (G), æe"® est également une solution de (F). En remplaçant y dans le membre de gauche de (F) par æe'*, nous obtenons

(CH). me (ri + pari + Pari + Ds) + (Sri + 2pi71 + Da). Mais puisque 7, est une racine double de (G),

ri + piri + Pari + Ds — 0, et Si + 2piri + Ps = 0. D'après $ 69, p. 99.

Par suite, (H) s’annule et æe” est une solution de (F). Nous avons alors deux solutions correspondant à la racine double 7:

Cie ES Crete

Plus généralement, si 7, est une racine multiple de l’équation caractéristique (B) p. 502, se présentant s fois, nous pouvons écrire immédiatement s solutions disunctes de l’équation DIGREISES (A), p. 502, savoir

cie”®, Css Tente Corp A 20 CH TAPAE

Dans le cas où a+ bé et a — bi sont chacune des racines multiples de l'équation caractéristique se présentant s fois, il s'ensuit que nous pouvons écrire 2s solutions distinctes de l'équation différentielle, Savoir

ce“cos 0x, re Cos 0x, CLecos be, 2, ci T'ecos bT; c'e sin 02, cite "sin 0; cL'esin be, Lt, CAT Ie" sIMATE.

É r “ A 4 4 « . Nos résultats peuvent maintenant être résumés dans la règle suivante pour résoudre les équations différentielles du type

d'y d'y Re dun P dx?! TP xn—? RE re L'AEAUE ë ?<0i dans lesquelles Pas Pas ve. Pr sont des constantes. 6 À ù

|) 1" opération. Écrire l'équation caractéristique correspondante # En me MS 7 D AE TE Le na LE 2° opération. Résoudre complètement l'équation caractéristique. 9 opération. D'après les racines de l'équation caractéristique, écrire comme 1 suit les solutions particulières correspondantes de 2

l'équation différentielle : 7:00 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 7 a) Chaque racine Te :

(a) ( donne une solution particulière e"”. À distincte 7, \ à b) Chaque paire distincte : Fe | @) Re deux solutions particulières ’ de racines imaginaires ; donne a OU 5 ecos box, e“sin 0x.

a + bi &

! s solutions particulières obtenues

présentant s fois | particulières (a) ou (b) par

À RSS en DE "à

4° opération. Multiplier chacune des n(°) solutions èndépendantes 24 par une constante arbitraire et ajouter les résultats. On obtient ainsi à la solution complète. :

ExEmpce [. — Résoudre D CNET + 4y = 0.

CE dx dx?

Solution. Suivons la règle ci-dessus. à

1re opération. 1? — 3r? + 4— 0, équation caractéristique. Me

2e opération. En résolvant, les racines sont — 1, 2, 2.

8° opération. (a) La racine — 4 donne la solution e-”, (b) La racine double 2 donne les deux solutions e?*, ze*. 4e opération. La solution générale est

Y = Cie T + Coer + CyTeT. Réponse.

Ex é ; d? od Exemece IL — Résoudre LY — 4ŸY mx 107 — 192 + 5y— 0. | dx dx dx Solution. Suivons la règle qui précède. & (*) On a un contrôle de l'exactitude du travail dans le fait que les trois premiéres opérations #1 doivent donner n solutions indépendantes. ; 120 S “1 : 2 : FA

à É C Le

4e opération. L'équation caractéristique est ré — 473 + 107? — 197 +5 — 0.

5 | 2e opération. En résolvant cette équation, on trouve que les racines sont | LES EVE nm re

‘3 $ 73e opération. (b) Les deux racines imaginaires 1+% donnent les deux solu- É 510 tions & cos 2x, er sin 2x (a — 1, b —). : A SaeA 3 1684 (c) La racine double 1 donne les deux solutions A NE EN | PRRIR ne. | 4e opération. La solution générale est | Be y = Ce + Cet + cer cos 2x + cer sin 2%, HE À D. ou y = (0; + cer + c, cos 2x + €, sin 2r)er. Réponse. : EXEMPLES | Me.

Équations différentielles. Solutions générales. FT 12 : 4 " ESEX A 4. . = 9y. y — Cyer + ce, = = 2 dy P 1) ES ee Ÿ .

; à ere 4 Y = Ci SIN & + Co COS L. :

d d | | 3. Se + 19y — RE y Tee + + | | 2 - ES 4. CU — a+ 4y = 0. y = (Ci + cot)err.