PM Y—=U

… obtenir, soit directement, soit par élimination, une équation diffe- | TA d'un ordre supérieur du type I. SET

22.0) ne les ouvrages sur les équations différentielles, on montre que u +v est la solution 2 complète.

sauf dans certains cas spéciaux. En ce qui concerne les problèmes

2° opération. Différentier successivement l'équation donnée (D) et

3° opération. Résoudre cette nouvelle équation d'après la règle de « la p. 505, ce qui donne sa solution complète

Yy—U +,

dans laquelle la partie u est la fonction complémentaire de (1), déjà trouvée dans la première opération (*) et v est la somme des termes additionnels trouvés.

4° opération. Pour trouver les valeurs des constantes d'intégration dans la solution particulière v, substituer

y —T el ses dérivées dans l'équation donnée (). Dans l'identité qui en

résulte, égaler les coefficients des termes semblables, résoudre par rapport aux constantes d'intégration, substituer leurs valeurs dans

spa de nb cs

ce qui donne la solution complète de (?). 4 Nous allons maintenant illustrer cette méthode au moyen d'exemples. : Note. La solution de l'équation caractéristique de la nouvelle équation diffé- J rentielle dérivée est facilitée si l’on observe que le membre de gauche de cette équation est exactement divisible par le membre de gauche de l'équation caractéristique utilisée pour trouver la fonction complémentaire. 4 Exeupce |. — Résoudre ; dy dy

K + + TE — dy = ae, de dde ?

Solution. 1'° opération. Remplaçons le membre de droite par zéro, il vient

à y >; <dy L CR 0):

(b) EPS Per ARE

En appliquant la règle de la p. 505, nous obtenons comme solution complète de (L),

(M) Ver COTE, 2e opération. En différentiant (K), on obtient (N) y EU QU or

dr er? dx

En multipliant (K) par 2 et en ajoutant Le résultat à (N), nous obtenons

qui est une équation différentielle du type L.

(*} D’après la méthode suivie, il est évident que toute solution de l’équation primitive doit aussi être une solution de l’équation dérivée.

has, ' ù F4 HAS X, | 1 “ DU.

Let # :

# r, à ï 3 : | ; lite let, puise. à. thés DA ES de De Sn dl R cn ne ENS 2 M soon dt de og 07 ce cut à

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 509 1e

» Qté : ge s ge opération. En résolvant d’après la règle de la p. 305, nous QUPAUUTE pour 138 solution complète de (0) n 22 -22 4 | Ye pe + cure, Rrou, QRRESs (ADS | ER" y—=Uu+ Cove — y +0.

4e opération. Nous allons maintenant déterminer c, de façon que c;re—% soit une solution particulière v de (K). #0 . En substituant dans (K) y = c;xe—?, | RE ie à : F 4 | + = ce (A — 27 ER AN E 4 pr Na Ra.

= ce — 22), TU Gr — 2), 2) nous obtenons — 3cje— 2% — ge—*; ne, 4 — 3c3— 4 OU > C;—— 34. RE Par suite, une solution particulière de (K) est ‘31 RE SON EENREE É V—=—Sarer*?, ne.

et la solution complète est . 5 2 Y—=U+HVU—= CE + Coe— —% — “lave? Fe ExempLE IL. — Résoudre .; TR # - d? d°y 9 Le # L ; ) | Gao 1 NY COS A. : Ne .

| Solution. 1°° opération. En résolvant Re.

À d2 “ é z @ : dx — mr. n°y — + 0, ; 5 # + -nous obtenons la fonction complémentaire s ; 5 GIE y = Cy Sin NT + Co COS NT —U.

2° opération. En différentiant (P) deux fois, nous obtenons N -TIeR di : Fe De .(5) CU L p TV moos ax. = D dx* dx? k = En multipliant (P) par a? et en ajoutant le résultat à (S), nous obtenons BE PRE d' eu DU Ge + ae + any — 0.

- 3° opération. La solution apiste de (T) est à | E v 4 NA) 72 Y = C4 SIN NT — Co COS NT + C3 SIN AT + C, COS AT . 300 Roou- y —=U + C3 Sin AT + C, COS AT —U +0. D Le . 4e opération. Déterminons maintenant c, et c, de façon que c;sinaz+c,cosaz “1 soit une solution particulière v de (P). #2 En substituant dans (P) | #4 D 7 c : 240 2 ‘ x d? + \ L C3 4 “REA y = C3 Sin at + C, COS 4X, e. — C3 4 COS AT — C,A SIN 4, l 220 “4 | dy Ca? Sin AT — C,4? COS 4%, CES ne dax? | 255 nous obtenons w 2000 (n?c, — a?c,) cos ax + (n°?c, — a?c;) Sin ax = cos az. 3 4 , 4

310 __- GALGUL INTÉGRAL

‘ En égalant les coefficients des termes semblables dans cette. identité, nous à obtenons - Ex #4 n°c, = a°c, = ï] et n?c; = d?C: — UV, 0

ou Ci # n? — a?

et C0 Se Er is ee =

Par suite, une solution particulière de (P) est

: rs is ax es a 244

et la solution complète est COS at.

Y=U+HV—=C,SIMNT + Co COS NT + CEE

EXEMPLES

“Équations différentielles. Solutions complètes. dy. dy Wr+T ST 2 + AIy = à. C Le # ie et OU ÉRNREN enr:

d'y ody. 9 dy ody,

Er da dx? dx

+y= a. y =, sin z+ 0 COS æ + (C3 ++ CT) + a.

ds — s—=t+1A. È s— cet pot = ÉEA SALE ‘dr a? NAT do de de e ONE Re: ER Er Le ee rt a . ï” =(a+ai+s) 6 + Ca. 2 = 4 k re PRES 4 3 5 d'y — aËy = Tr. Lo y=ceT+oe +, sin aœ +0, C0Sa8 — dat SR

æ sin ax

6. + a?s — COS AT. s — c,sin ar + cosaæ + 25 9 AS » a n Ps ds 7.7 0% ÉRIC == feat ss dB = (a tan ur FE Ape gl ad y er. meer. ve) ete.

9 PU — y — Br +2 y = Cet + Cp? — 5% — I, 19, ie A ie Ver + cet + Ta dx EE, | a dy que Se 2 LT EE | 11. CYR Gy— eme. — c,e? ERA D | - :

pe it RS Re Pa A dur du | LE gere (An — = 3jers “4 12.2 — 32 + Jy — vert. Ye RO Pin Ann. PAS ES NUE +2 15, —9® - = 20s — Pet, Scie Het PET ex.

14 LS Le — 1 sin? t. : É (ee: rue inde Es Le ose dt? * 16. 39 8 00

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES | 5{1: 0 | : Né ES

Type III. Eee X, : TS

| Es - X étant une fonction de æ seulement, ou une constante. D

Pour résoudre ce type d'équations différentielles, nous avons la règle

ci-après d’après le chapitre xxix, p. 456 : DAS Antégrer n fois successivement. Cher RU introduira une. constante arbitrarre. PE

8 | | | 1ù PRE — Résoudre Ÿ% — ver. | Re:

| Solution. En intégrant une première fois, ona Ù Re ne 2 27 78 Le qu = J véda, R 2 KR dx? : ; 4 F, fr E< y LT DT x : , X RE és ou nie + Gr: D'après (A), p. 402. +0 En intégrant u une deuxième fois, il vient 7h dx À : = De? — der + Cr + Co.

Y étant une fonction de y seulement. - L PET

La règle pour intégrer ce type est la suivante :

É 1 “opération. Multipler le membre de gauche par le facteur 2x, à | | el le membre de droite par le facteur équivalent 2dy, et intégrer.