ET

D | Dé dy °- 34 — a | à r uite, ER 9 Es Ï / : u es laut se at — ap pente de la tangente

La substitution dans (1) donne

y — 2x — a, équation de la tangente.

La substitution dans (2) donne . * y +x—3a, équation de la normale.

La SAUIUMER dans (3) donne

TM + — Jongueur de la sous-{angente.

je | La substitution dans (4) donne

MN —9%a— longueur de la sous- -normale.

Ona FRERE

€ PM — . + CMP — ET — . - Jongueur de la Ro nelE

# C2: Trouver les équations de la tangente et de la normale à lellipse

ne s 5 2? + y? — Dry — x —0

“aux Je où r= OR Rép. A(1,0), 2y=æ—1, y+2r —2. GES . AU), y=zr+i, y+ Ir 53.

273. Trouver les tions de la tangente et de la normale, les longueurs de la Bous-tangente et de la sous-normale au point (x,, y,) du cercle + y —=7r? (0.

Rép. æit + y = Tr, Ty —Yt—=0, — L, Le

$ L Es bd: IMontrer que la sous-tangente à la parabole y? — 4pr est divisée en deux | parties égales par le sommet et que la sous-normale est constante et égale à 2.

ne 5. Trouver l'é équation de la tangente au point (x,, y) de lellipse . + Le ES

Rép. re Mens £

PDAs les oo 3 et à, le lecteur devra observer que si noûs faisons abstraction des indices da ans les Pos es He elles se réduisent aux courbes elles-mêmes.

D DE re D Nr HE TE ie a UE D A ie 2 db Qi

F le FOUR EL PE Eee Ky - » . = o A arte

PA ‘ En a

6. Trouver les équations de la-tangente et de la normale à la courbe y — LS au point où æ — 24. ka? + x?

Rép. + Iy—4a, y—Ix— je

7. Démontrer qu’en un point quelconque de la chainette y — re e— +)

les longueurs de la sous-normale et de la normale sont respectivement

8. Trouver les équations de la tangente et de la normale, les longueurs de la” sous-tangente et de Ja sous-nor male à à ‘chacune des courbes ci-après aux points . qui sont indiqués : |

(a) y = x? au point (3, à); © (e) y—=9— x? au point (— 8, 0);

(b) y? = 4x au point (9, — 6); (f) x? = 6y au point où x——6;

(c) æ? + 5y? — 14 au point où y—1; . (g) 2?—xy+Ix— 9—0 au point(3,2); (d) 2? + y? = 95 au point (—3, — 4); (h) 2x? — y? — 14 au point (3, — 2).

9. Démontrer que la longueur de la sous-tangente à y — a” est constante et”

égale à © log a .. 40. Trouver l'équation de la tangente à Ja parabole y? — 20% qui fait un angle de 45° avec l'axe des x. Rép. y =? +5.

NoTE. — Trouver d’abord le point de contact par la méthode de l'exemple 1, (d), p. 82.

411. Trouver les équations des tangentes au cercle 2? + y? — 52 qui sont parallèles à la ligne 2x + 3y — 6. . Rép. 2x + 3y + 26—0.

42. Trouvér les équations des tangentes à l’hyperbole 4x? — 9y? + 36 — 0 qui sont perpendiculaires à la ligne 2y + 5x — 10. Rép. 2% — 5y+8—0.

43. Montrer que dans l’hyperbole équilatère 2xy — a? l'aire du triangle formé. par une, tangente et les axes de coordonnées est constante et égale à 4°.

44. Trouver les équations des tangenteset des normales à la courbe y? —2x°?— 1? aux points où æ — 1. Rép. A(,1), 2y= x +1, y + Ir —3. ; AC, — 1), 2y= — x —A, y 22 = —3,

4 ke Lo 45. Montrer que la somme des parties de la tangente à la parabole z? + y? —a? interceptées sur les axes de coordonnées est constante et égale à a.

46. Trouver l'équation de la tangente à la courbe TUE + y) = at — y) à l’origine. | Ô Rép.:y =2 + 2 2 À :

17: Montrer que pour l’hypocycloïde #3 + y = a? la: portion de la tangente comprise entre les axes de coordonnées est constante et égale à a.

18. Montrer que la courbe y — ae° a une sous-tangente constante.

66. Équations paramétriques d’une courbe. — Soit l'équation d’une courbe

(A) Fr y):

Ton APPLICATIONS SIMPLES DE LA DÉRIVÉE 89

… Si æ.est donnée comme fonction d’une troisième variable, { par é exemple, qu'on appelle paramètre, en vertu de (A), y est également

une fonction de £ et la même relation fonctionnelle (A) entre x et y peut généralement être exprimée au moven d'équations de la forme

“4 chaque valeur de # donnant une valeur de x le et une valeur de y. Les équations (B) sont à M à appelées les équations paramétriques de la

courbe. Si nous éliminons # entre les équations (B). il est évident que la relation (A) LE en résulter. Par exemple, : prenons. out du cercle

apr, où “y 2 MAO =". | E— Dans ces conditions, .

F.COS:i:-

y—=?T Sin 4,

: Per Lres ds oh béé à: > st

4 et nous avons

à | | CARS MACOS L

x Ag 2 *

D (CO) NPA ee

Er : (y=7rsMmé,

| comme équations paramétriques du cercle dans la figure 28, 4 étant 4 le paramètre. |

‘ss Si nous éliminons f entre les équations (C), en élevant au carré et 4 en additionnant les résultats, nous avons ne k |

= Er + y —=r (cos é+ sin”) — 7”,

Ke qui est l'équation du cérele en coordonnées rectangulaires. Il est évi-

dent que si £ varie de 0 à 2x, le point P(x, y) ReCrie une circonfé- rence complète.

- Au S 71, nous discuterons le mouvement d’un point P, mouvement

“qui est défini par des équations telles que.

À que nous Rip orons les équations paramétriques du trajet parcouru, 4 %

le temps { étant le paramètre. Ainsi dans lex. 2, p. 105, nous voyons que $ + Ce.