CES

| QE by) — a? — b?, équation de la te En a substituant dans (3) “ (4), p. 86, nous obtenons

s 6 = en = longueur de la sous-normale ns ES A ) Æ Ce longueur de la or

Po & = a(0 — sin 0), - # yat — cos 6),

X N .- OU, Æ — COS » et Y — sin @.

a b Élevons maintenant au carré et additionnons, nous obtenons

"2 2. 4 = cos? 9 + sin?e — 1,

sf: 4%, D?

À Pr, a : qui est l'équation de l’ellipse en coordonnées rectangu- Fig 20. LC: laires.

- ch 0 + est quelquefois appelé l’angle excentrique de l’ellipse Een au point P.

La trajoctoire décrite par un point de la civeonterence d’un cercle qui roule sans frottement

è EXEMPLE A — Étant donnée l'équation de la cycloïde (*) sous la forme para-

ES /) Par les deux points B et C sur le même rayon, traçons

7 à des lignes parallèles aux axes de coordonnées. Ces lignes se coupent en ur point P(æ, y) sur l’ellipse, parce que l \ .. æ=0A=0Bcose—=acose /\ et y = AP =OD=OCsine—bsins

9 étant le paramètre variable, trouver les longueurs de la sous-tangente, de.

Ja sous-normale, de la tangente et de la normale au point où 0 = Solution. Eve a(i — cos 0), dy — a sin 6.

do do

En substituant dans (D), p. 90, il vient

dy sinÿ d&æ. A1—cos0

— pente en un point quelconque.

Puisque 8— ©, Je point de contact est (2% — a, a et “Hi, 9 9 dr,

En substituant dans (3), (4), (5) et (6) du dernier paragraphe, nous obtenons : : longueur de la sous-tangente — a; longueur de la sous-normale — 4, longueur de la tangente — ay9, longueur de la normale — aÿ/2. Rép.

EXEMPLES

Trouver les équations de la tangente et de la normale, les longueurs de la

sous-tangente et de la sous-normale à chacune des courbes ci-après, au point

7 es £ Ï . \! ' PONS OP NP RES D EN CPE EP ER PE AS EP

indiqué : |

Tangente Normale S:-t9. S.-n!° AR OU A: D Ip A0 Br y VENU RIRES 2. t—t, y— ti; t—), 192—y—10—0; v+12y—98—0, 2, 96. A BSD ty = 09 td: 3m —0ÿ 10; rt We-B D 200

4. 2 — et, yet: t—0. T+Iy—h—0, Iv—y—5—0,, —92, —À 5, x—sint, y—=cos dt; t—T. 2y+4r—3—0, 4y— Ir —1—0, — 5 —1. 6. v—1—t,y—#%;1t—=3. Dr y—=P it A, 4 LL Ta=3t,y—=6t-#;1<0. A0. 2—2—1,y—30; 11. Ne : 8. Re td | 11. %= COS , y=sinY; = :

sur une ligne droite fixe a reçu le nom de cycloïde. Soit a le rayon du cercle roulant, P le point qui engendre la courbe et M le point de contact avec la ligne fixe OX qui est appelée la base (fig. 30). Si l’arc PM = OM en longueur, P viendra en O si le cercle roule vers la gauche. Nous avons, en désignant l’angle PCM par 6,

æ=OM—NM=a—asins LM i — a(ÿ— sin 8), y=PN=MC—-AC — a — a cos 8 — a(i — cos 6);

ce sont les équations paramétriques de la cycloïde, l’angle 6, dont le cei- Fig. 30. cle roulant tourne, étant le para- Bree mêtre. OD —2xra s'appelle la base , d'un arc de la cycloïde et le point V s'appelle le sommet. En éliminant 4, nous obtenons l'équation en coordonnées rectangulaires

D'NGAEC cos( >) V2ay — y? =:

42. 2 3e-4 y dt: t=0. s 14, = 24cost, y —3sint; is 48. Done y =2cost; (= TZ. 45, æ =log(t+92), y=t:t

Dans. les courbes suivantes, trouver les longueurs (a) de la sous- -tangente, - (ide la sous- -normale, (e) de la langente, (d) de la normale en un point quel-

| conque: S "e 46. Courbe | fade tn t),

D Are y—=a(Sinét—tcos 6). je

MO 27. Out, Œytgé (=, (@ 41

DR - , sin cos {

Ke. yo ! ( ) y = 4a sin? {.

+ - Rép. (a) — ycotgt, (b) —ytgt, (ec) —? Dans LR p a ycolgé, (b) NO @ “#4 48. Cercle ant Fr Ce É EEE lyr sin Cardioidé . {e=a@cost— cos 2)

7 MS ly — a(2 sin é — sin 26).

re Mens

… 20. Folium de Descartes op

De E 148

5 FERRER x = cost,