AL

= — da sin 2,

k de ___ a?sin % Ç 7 | da

i da. à 2 5 1 DB substituant dans (D) et (8) nous obtenons 3 \FTENESS longueur de la sous-langente polaire — tar À MES | æsin 20 ‘4

: | a? sin 20 é

nc: L W longuèur de la sous-normale polaire = — 40 RE : o x 4 Ne

Le ACT

DST nous désirons exprimer les résultats en fonction de 0, il suffit de trouver o

en fonction de 0 d’après l'équation donnée et de substituer. Ainsi, de l'équation a lemniscate donnée Ci- dessus, nous tirons , | We $C | pi = + ay/cos 94: | Se & ui

r conséquent, la longueur de la sous-tangenté polaire = + a cotg 20 V/cos 26.

EXEMPLES SE FLE TR Da. Dans le cercle 9 — r sin 0, trouver 4 et r en fonction de 4. | : 1 ES CES Réponse. V0: 7" 90; Ge

K'2. Dans la RAP Oers e — a Sec? &, montrer que 7 +=.

Dans la courbe dre a?cos 2, montrer que 20 — x + 44.

4. Montrer que , est constant dans la spirale logarithmique 5 —es. Comme tangente fait un angle constant avec le rayon vecteur, cette courbe est appelée irale équiangle.

k ne Étant donnée la courbe pb — a sin? . démontrer que r = 44.

Ë j 6: “Montrer que tg®—0 dans la Its d’Archimède 5 — a. Trouver les mi va deurs dev quandô—9%ret4r. Rép. 4 — 80° oT' et 85°27/. Ë

ÿ ‘Trouver l'angle formé par la ligne droite p cos 0 — 2a et le cercle e— 54 sin 0, LES Rép. arc lg -

s La droits, » | 2 à

4 74 Trouver l'angle d’intersection de e —asin 0 et o — a sin 2. Réponse : A l’origine 0° ; aux deux autres points arc (g 3/3 ‘

40. Trouver les pentes des courbes ci-après aux points désignés : DE da: 7 ,

ü # Fe a(t — cos 0). AR + “Rép. —1.

| (b) 5 — asec”. o — 24. a ER |

#(c): e=asin 40. origine. R 0,4, 0, —1.. | pe @) pa? sin 40, origine. . | 0,1, ©,—1, : L'AARENNES

: Graxviutr, Caleul diff. etint. RER TS 7

(e) p — a sin 30.

0, V3, ru V3-

origine.

(f) p—=a cos 3l. origine.

(g) e — a cos 2. origine.

(h) © —= a sin 1%. ET

(i) p = a sin 30, = TZ.

(7 ke. al. n (| Er Es à

(A) eo — a. (=+

() p—e. RE 0: ‘

41. Démontrer que la spirale d'Archimède e — ai # la spirale réciproque»

pe ï se coupent à angles droits.

12. Trouver l'angle formé par la parabole o— a sec À et la ligne DU 1 e sin 0 — 24. 2 v

Rép. 430.

43. Montrer que les deux cardioïdes pe = a(l + cos 0) et 6 — a — COS ne se

coupent à angles droits. ;

14. Trouver les longueurs de la sous-tangente, de la sous-normale, de la tan gente et de la normale dans la spirale d’ Archimède D =U0: ;

Rén# Sous AS ts ya +

SOUs-NOrmM.— 4, norm. pe:

Le lecteur remarquera que la AURA AES est constante. 4 45. Trouver les longueurs de la sous-tangente, de la sous- AOTRRIES de la tan gente et de la normale dans {a spirale logarithmique DEAR $

Rép. Sous-tg =, gp / 1455 log a $ : dog? a

sSoUusS-norm. — e log a, norm. — V1 + log? a. 4

Quand a—e, nous remarquons que sous-tg — sous-norm, et que tg— norm \

16. Trouver les angles formés par les courbes 9 — a(1+ cos 0), e—b(1 — cos D. | ee : Rép. () tea é A1 Montrer que la spirale g = a à une sous- tangente constante. 4

48. Montrer que les hyperboles équilatères | p? sin 20 — 4°, : 6? cos 20 — b?.$ e coupent à angles droits. LP EEE

69. Résolution de équations onet des racines multiples. __ Toute racine qui se présente plus d’une fois dans une équatiôn. est appelée une racine multiple. Ainsi, 3, 5, 3, 20 sont les racines de

(A) D Ta + 9 0x = 54 = 0;

ji ins nb -2e PS «ia frs PE À « = È Le ag nr Lan Le A + \ ‘ Ë ke ps i SPREEAN., te + APPLICATIONS SIMPLES DE LA D ÉTeRÉ 99

pa suite, 3 est une racine multiple se présen tant trois fois.

E videmment. on peut également écrire (A) sous la forme

M. A0 L fx) désignant une fonction rationnelle entière de x ayant une #28

ine multiple a et supposons que cette racine se présente 7x fois.

el pau ons s alors écrire

| f&)=@— à)" (x), 5 est le produit des facteurs correspondant à toutes les racines 0 différentes de a. Différentions (B),

TE (æ)= (@— a)" (x) + s(x)m(x— a)",

(O, f—G— a) Ur —a}/(2) ex),

D séquent. f'(æ) contient le facteur x — à répété m—1 fois é -eb pas davantage, c’est-à-dire que le plus grand commun diviseur AP. G. C. D) de fe) et de f(x) a m —1 racines égales à à.

Dans le cas où /(x) a une seconde racine multiple 4 se présentant » fois. il est évident que le P. G. C. D. contiendra également le facteur (æ — 0)" et ainsi de suite pour un nombre Ro de racines multiples différentes, chacune se RSR une fois de plus dans fx) que dans le P. G. C. D.

Nous pouvons alors énoncer comme il suit une règle pour trou- DE les racines multiples d'une équation /{æ) — 0.

x He opération. — Trouver f(x).

Lo opération. — Trouver le P. G. C. D. de f(x) et de f(x).

k .æ opération. — Trouver les racines du P. G. C. D. Chaque racine (R différente du P. G. C. D. se présentera une fois de plus dans f(x) à ue dans le P.G. C. D.

… S'il arrive que le P. G. C. D. ne contienne pas æ, c’est qu'alors | F (CO n'a pas de racines multiples et le procédé ci-dessus n’est d'aucun secours dans la résolution de l équation, mais 1l peut être intéressant de

savoir que l'équation n’a pas de racines égales, c'est-à-dire multiples. |", 5 | Exewpux L — Résoudre l'équation 25 — 8x? + 127 — 6— 0. : Solution. Posons f(œ) = 28 — 8x? + 13x — 6.

ner opération. 1 FCx)— 32? — 167 +18. ,

2e. opération. P.G.C.D.—x—1.