Applications de la dérivée en mécanique
Ü \ à 1. . fr 4 Vitesse. Mouvement rectiligne. Considérons le ? , \ 4
j (*) Puisque la première dérivée s’annule pour chaque racine multiple, Fie. 35 il en résulte que l'axe des æ est tangent au graphique en tous les po NE qui correspondent aux racines multiples. Quand une racine multiple se
présente un nombre pair de fois, le graphique ne coupe pas l’axe des zen ce point (fig. 35); si elle se PECSERE ur nombre impair de fois, le sauiaue coupe l’axe des à LE ë.
LE
5e d'un point P sur la ligne droite AB (Ag. 36). Soit s la dis! tance mesurée d'un point fixe tel que À à une position quelconque
LENS He ES de P, el soit / le lemps écoulé | ANA RE E 5 OP ENt A chaque valeur
| Ne M Le de { correspond une position de P nr Le | et, par suite, une distance (ou
pr) ER Par conséquent, $ est une fonction de £et nous pouvons
Se HOË — faisons prendre à {un accroissement A/; s prend alors a accroissement As (*), et |
— la vitesse mouenne x.
P pendant l'intervalle de temps Ar. Si P se déplace ne ment uniforme, le rapport ci-dessus aura la mêmie valeur pour chaque intervalle de temps et représentera la vitesse à un instant quelconque. Dans le cas général d’un mouvement quelconque, uniforme ou + nous eos la vetesse (coefficient différentiel de s par rapport Ron) à un instant quelconque comme étant la hmite du rapport
tt
\, quand a tend vers Zéro, ©'est-à- dire
Lt aile As APE
__ds dE
pe
Pour montrer que cette définition s'accorde avec la conception que d.
us avons déjà de F vitesse, cherchons la vitesse d’un corps qui
b EE reent dans le Side au voisinage de la Le de la terre suit | approximativement la loi suivante :
TRS ; rs sir
| La as tant l'espace (ou distance) PAQUET BÉUATEE le temps At.
nn "> =" mn", £
: Re. , VE Le à Fe
D ed
ë< SX.
où s— l’espace de chute en mètres, {= le temps en Socbnde Anpliquons la fiègle générale, p. 33, à (B). 7
1" opération. n s+ As = 4,91(6+ Al) — 4,918 49,897. At +4 1.91(A0. ‘+
2° opération. As — 9,82€. At+ 4 da ‘+ 3° opération. = — 9,824 + 4,91A7— vitesse mo yenne pendant l'intervalle de temps At. | i | Pr t—2, il vient | “
(C) à — 19,644, MA vitesse moyenne pendant l intervalle 3 de temps At après deux secondes de chute.
Notre notion de la vitesse nous avertit tout de suite que (C) ne. nous donne pas la vitesse réelle au bout de deux secondes; cam
même si nous prenons At très petit, par exemple Rs ou PR. de
100 1000 seconde, (CG) ne donnera encore que la vitesse moyenne pendant : le. petit intervalle de temps correspondant. Ce que nous devons entendre par « vitesse au bout de deux secondes » est /a limite de la vitesse: moyenne quand At tend vers zéro ; c'est-à-dire que la vitesse au bout de deux secondes est, d’après (C), 19,64 mètres par seconde, ce qué nous exprimons par la notation | NS
limite Fe) — 19,64 mètres par seconde. |
Ereesr
CRAY em à
L'exemple ci-dessus éclaire bien la notion de valeur limite. Lé lecteur devra bien se pénétrer de cette-idée qu’une valeur limite este une valeur définie, fixe, et non quelque chose qui est seulement, approché. Observons qu'il n’est fait aucune hypothèse sur la petitesse de 1,91 Ar et que c’est seulement la valeur limite de :
