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à: Quand nous nous déplaçons sur la courbe de gauche : à droite, la

courbe nonte; c'est-à-dire que quand æ croit, la fonction y croit

té

Fig. 43. Fig. 44.

7 constamment. Par conséquent, 4° est une fonction croissante pour toutes les valeurs de +. À | D'autre part, considérons la fonction (a — x) dont le graphique. (fig. 44)'est le lieu: de ue 4 y=(a — x).

ne nous nous ue sur la courbe de gauche à droite, la È courbe descend ; c’est-à-dire que quand # croit, la ICRA y décroit constamment. Par suite. 1 est une fonction décroissante pour | se do ae. À Une fonction peut être tantôt croissante et lantôt décroissante, ainsi que le montre le graphique (fig. 45) de | | y = 22° — Ja + 12% — 3.

Quand nous nous déplaçons sur la courbe de.

gauche à droite, la courbe monte jusqu'à ce que nous atteignions le

ES : ; Fe

4 À, ensuite elle descend de A à B, et à droite de B elle monte RSS Par suite :

(a) de x —— à x —"1, la fonction est croissante ;

Hide la x", la Ont est décroissante ; 4Q] de æ =2 à x —=+ =, la fonction est croissante.

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Le lecteur devra étudier soigneusement la courbe de façon à noter & onment se comporte la bte quand x =! et x —2. Evidemment, À et B sont des points critiques. En A la fonction cesse de “croître et commence à décroître ; en B c’est le contraire qui se pro- | dut. En A et B la tangente (ou la courbe) est évidemment DTA le à l’axe des æ et, par suite, la pente est nulle.

Cgf

— 81. Règles pour déterminer quand une fonction est croissante et quand elle est décroissante. — Il est évident d’après la figure … 45 qu'en un point tel que C, où une fonction

+ y = ft)

est croissante, la tangente fait, en général, un angle aigu avec l'axe des ds Dir suite

Ki | HER cu — f(x) = un nombre positif. ; | dx

Es De même, en un point tel que D, où une fonction est décroissante, la tangente fait, en général, un angle obtus avec laxe des +; par Due

# Der lp = = f'(x) = un nombre négatif (”).

En conséquence, la condition nécessaire et suffisante pour qu’ une ns croissante devienne décroissante ou inversement, est que la … dérivée première cnye de signe. Mais ce fait ne peut arriver pour à dérivée continue qu’en passant par la valeur zéro. Ainsi dans la figure 4 45, p. 120, lorsque nous nous déplaçons le long de la courbe, a dérivée (la pente) change de signe en A et en B où ae a la valeur

À oO Réciproquement, pour une valeur donnée de x, ER " si f{æ)= +1, f(x) est croissante ;

EL Ex

si f(x) = — n f(æ) est décroissante.

Quand AT =D, nous ne pouvons dire sans autre recherche si f(x) est croissante ou décroissante.

En

petite que toutes celles qui la précèdent ou la suivent immédiatement!

zéro. Donc, en général, nous avons aux points critiques

La dérivée est continue dans presque toutes les applications impor=« tantes, mais 1l est intéressant de noter le cas où la dérivée A pente). change de signe en passant par l’ (*). Ce fait se produit évidem-« ment aux points B, E, G, dans la figure suivante (/ig. 46) où les tangentes (et la courbe) sont perpendiculaires à l'axe des +. En ces points critiques ne :

de | 2

= mie 4 ou, ce qui revient au même, | * ee: 5 1 (©) | ->4

82. Valeurs maximum et minimum d’une fonction. — Une valeur maximum d’une fonction est une valeur qui est plus grande.

que toutes celles qui la précèdent ou la suivent immédiatement. n. Une valeur meénimum d'une fonction est une valeur qui est pluss

Par exemple dans la figure 1 45, p. 120, il est clair que Ja fonction passe par une valeur maximum MA(y — . quand æ— 1 et par une valeur minimum NB (y — D quand AE 2

Le lecteur observera qu’un maximum n’est pas nécessairement De plus grande valeur possible d'une fonction, ni un minimum la plus petite valeur possible, car dans la-figure 45, on voit que la 10H (23

*) On veut dire par là que son inverse passe par la valeur zéro. P =

Bodes TT à droite de B qui sont plus grandes que ler maximum MA. *- el des valeurs à gauche de A qui sont plus petites que le minimum NB. hu Une fonction peut avoir. plusieurs valeurs maxima et plusieurs 4 | valeurs minima. Supposons que la figure ci-dessus (fg. 46) repré- D Je graphique d'une fonction f(x).

+3 EnB, D, G, I, K, la fonction passe par un maximum, et en C, , H, J, elle passe par un minimum. La figure montre qu'une valeur l © minimum déterminée peut être plus g de qu'une valeur maximum . déterminée ; les valeurs minima en C et H sont plus grandes que la | valeur maximum en K.

Aux points critiques ordinaires C, D, H, L.J.K, la tangente (ou la | courbe) est parallèle à OX; par conséquent