es Here ES ee HO

Aux points Sie exceptionnels, B, E, G, la tangente (ou la | courbo est perpendiculaire à OX, ce qui donne

née 7 pente D = f(x) = >

Une de ces deux conditions est donc nécessaire pour que la fonc- - tion ait une valeur maximum ou une valeur minimum. Mais une pareille condition n’est pas suffisante, car en F la pente est nulle et - en À, elle est infinie, et cependant la fonction n’a ni valeur maximum ni valeur minimum en chacun de ces points. Il est nécessaire que nous sachions, en outre, comment la fonction se comporte dans le voi- * sinage de chaque point. Ainsi, aux points de valeur maximum, B. D, G, I, K, la fonction de croissante qu'elle était devient décrois- sanle, et aux points de valeur minimum, G,-E, H, J. la fonction de décroissante qu'elle était devient croissante. H suit de là, d’après le SE qu aux aie de valeur maximum

pente Le = f(x) doit passer de — à +:

quand nous nous déplaçons sur la courbe de gauche à droite. “à 3 " € ’

FA

124 ; GALCUL DIFFÉRENTIEL

Aux points tels que A et F où la penteest nulle ou infinie, mais quine sont des points de valeur maximum nides points de valeur minimum,

pente — cu = (LNRE change pas de signe. 0 c "20

Nous pouvons dès lors énoncer d’une façon générale, comme 11 suit, les conditions suivant lesquelles une fonction /(x) passe par un maximum Où par un minimum pour certaines valeurs de la variable : M

(19) f(x) passe par un maximum si f(x) — 0 et si f(x) passe de E + à — À (20) eee par un minimum si f(x) = 0;et/s1 f(x) passe de 4 F* È AT +"

Les valeurs de la variable aux points critiques d’une fonetion sont appelées valeurs critiques ; ainsi, æ = 1 et x = 2 sont les valeurs cri- É tiques de la variable pour la fonction dont le graphique est donné. dans la figure 45, p. 120. Les valeurs critiques aux points critiques où la tangente est parallèle à OX sont évidemment trouvées en éga- « lant la dérivée première à zéro et en la résolvant pour les valeurs « réelles de æ, comme äu $ 64, p. 81 (*). | ‘1

Pour déterminer le signe de la dérivée première en des points v voi- ; sins d’un point critique déterminé, on substitue d’abord dans cette . dérivée une valeur de la variable un peu plus petite que la valeur. critique cor respondante, et ensuite une valeur un peu plus grande CH Si la première substitution donne + (comme en L, fig. 46, p. 122) et la seconde — (comme en M), la fonction (y) a une valeur maxi mum dans cet intervalle (comme en D).

Si la première substitution donne — (comme en P), et la seconde 224 (comme en N), la fonction (y) a une valeur minimum dans cet inter- : valle (comme en C). : Ë

Si le signe est le même dans les deux cas (comme en Q et en R), alors la ne (y) n’a ni valeur maximum ni valeur mininum dans cet Interv alle (comme en F) (*).

() De même, si nous voulons examiner une fonction aux points critiques nn T où la tangente est perpendiculaire à OX, nous égalons à zéro la réciproque (ou l'inverse) de la dérivée première et nous la résolvons pour trouver les valeurs critiques. |

(*) Dans ce cas, l'expression un peu plus petit» ou «un tout petit peu plus petit » s poli à toute valeur comprise entre la racine que l’on considére et celle qui lui est immédiatement infè- . rieure (valeur critique) et l'expression «un peu plus grand » ou.«un tout petit peu plus grand»

s'applique à toute valeur comprise entre la racine que l’on considère et celle qui lui est immédia- | te ment supérieure.

BE discussion semblable s'applique èvidemment à chacun des points critiques exception=. & nels A: |

+-h Cu

Nous allons maintenant résumer les résultats qui précèdent dans

la Règle ci-après

83. Première méthode pour examiner les valeurs maxima et minima d’une fonction. Règle.

arr is LE os à af +

#4 opération. Trouver la dérivée première de la fonction.

2 opération. Égaler la dérivée première à zéro (*) el résoudre Er équation résultante pour ses racines réelles afin de trouver les valeurs crétiques de la variable.

“RE opération. Écrire la dérivée sous forme de produits de fac- - teurs ; si elle est algébrique, l'écrire sous forme linéaire.

: DTA opération. Considérant une valeur critique déterminée, exa- 9 .miner les signes pris par la dérivée première, d'abord pour une « valeur un peu inférieure, et ensuite pour une valeur un peu supé- … rieure à la valeur critique. Si le signe de la dérivée est d'abord +- = et ensuite —, la fonction passe par un maximum pour cette valeur crilique par oiore de la variable. Si l'inverse a lieu, la fonction … passe par un minimum. St le signe de la dérivée ne change pas, la «fonction ne passe ni par un maximum ntpar un minimum pour la … valeur critique considérée.

… Dans le problème étudié p. 116, nous avons montré au moyen du - graphique de la fonetion