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MAXIMA ET MININA | 127 #0

En un pareil point, la courbe est dite concave vers le bas (*).

N ous pouvons donc énoncer comme il suit les conditions suffisantes De aux valeurs maxima et minima prises par /(æ) pour cer- | nes valeurs de la variable.

(2) f(x) passe par un maximum si f QE — 0 et si f(x) — un noi nbre négatif.

té 2) 1x) passe par un minimum si f (x)— 0 et si f(x) —un nombre

É La | Rêgle correspondante pour opérer est la suivante :

à opération. Trouver la dérivée Première de la fonction.

2e opération. Égaler la déri ‘vée première à zéro et résoudre D. résultante pour ses racines réelles, afin de trouver les urs critiques de la variable.

Es". opération. Trouver la dérivée seconde.

ie opération. Substituer chaque valeur critique de la variable da dérivée seconde. Si le résultat est né gatif, la fonction passe un maximum pour cette valeur critique ; si le résultat est posi-

2e fonction passe par un minimum.

POtand f'(æ)= 0 ou n'existe pas, la méthode ci-dessus est en dé- | ut, bien qu'il puisse exister un maximum Où Un MINIMUM ; Mais - 1s ce cas, la première méthode donnée dans le dernier paragraphe | plique toujours, parce qu'elle est fondamentale. Habituellement, tte seconde méthode s'applique et quand lopération de recherche de dérivée seconde n'est pas LEURS longue ou trop DD c'est géné-

MG clio D | 432 )

hp 2

£ d : 439 ns fx) = 2x — sr

in un oint où la courbe est concave vers le haut, on dit quelquefois que la courbe a une ge ke et en-un point où elle est concave vers le bas, une courbure négalive.

2e opération. 2x — . 20,

x =D; valeur critique.

3° opération. FC) STAR ie | - | 42 opération. | F6) = + | Par suite, 1(6) = 108, valeur minimum. É

Le travail de recherche des valeurs maxima et minima peut être fréquemment simplifié à l’aide des principes suivants, qui résultent immédiatement de notre discussion du sujet. | ;

(a) Les valeurs maxima et minima d'une fonction continue doë vent se présenter alternativement. | (6) Quand c est une constante positive, c - Ce) passe par un mari mum où un minimum pour les valeurs de x que donnent à f(x) une valeur maximum ou une valeur minimum et seulement RO ces valeurs.

Par suite, dans la détermination des valeurs critiques de + et dans l'application des règles pour trouver les maxima et les minima d une fonction, tout étant constant positif peut être négligé. 71e

Quand ce est négatif, ce: f(x) est un maximum quand f(x) estuw minimum et inversement.

(ce) St c est une constante,

12) el C+ f(x) passent par des valeurs maximum el minimum pour les mêmes va leurs de x. :

Par suite, un terme constant peut être négligé dans la recherché des valeurs critiques de æ et dans l'application des règles données ci-dessus. - |

En général, nous devons d’abord exprimer, d’après les conditions données par le problème, la fonction dont on demande de rechercher les valeurs maxima et minima, ainsi qu’il à été fait dans les deux exemples étudiés pages 115-119. Cette opération est parfois un prop blème d’une difficulté considérable. << 0

On ne peut donner de règle applicable à tous les cas pour exprimer la fonction, mais dans un grand nombre de problèmes, nous pouvons. être guidés par les directives générales qui suivent. :

Di irectives générales.

@ Exprimer la fonction dont on demande de rechercher le maximum ou le minimum dans le problème.

RO) Si l'expression résultante contient plus d'une variable, les

LL re les variables pour que toutes puissent être exprimées en fonction d'une seule.

x (e) Appliquer à la fonction résultante qui ne contient qu'une le variable une des deux règles relatives à la recherche des vars mazima el minima Cpp- 125 et 127).

ne nnera un minimum sans qu'il soit toujours nécessaire d'effectuer »s quatre opérations indiquées par les règles dont il s'agit.

0 T racer le SPA de la Hs (p. 116) afin de controler